AlxisDataBlog-数学・物理学


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ホイヘンスの時代から既にエーテルという概念はあったようですが、当時から長い間エーテルは(光が波動であるために必須な)架空の媒質として存在の裏付けを取ることができませんでした。


初期のアイデアは「エーテルとは何か」という問いに基づきエーテルを探していたわけですね。しかし、これがなかなか見つからず、「エーテルは存在するのか」という問い掛けに転じることになります。


媒質に対して相対的に運動する力学系では、ドップラー効果が観測されます。この原理の通りに光でもドップラー効果が観測できれば間接的に媒質の存在を主張できます。この実験はマイケルソン モーリーの実験と呼ばれています。


波の性質の常識を考えると、当然のことながら肯定的に実験は終了するであろうと思いますよね。しかし現実は如何に精密に実験をしても否定的な結果しか出ませんでした。


最後の最後で常識が通用しない状況に追いやられたのですが、これをブレイクスルーさせたのが皆さんご存じのアインシュタインです。特殊相対性理論の登場によりエーテルの問題は完全解決しました。


今回はここまで。読み物系の回が続いてしまいましたが、次回からは少し理論をやっていきます。光は電磁波であることを支持して、電磁気の話から進めていきます。(written by J.Nishigata)


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エーテル問題に終止符を打ったアインシュタイン

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前回から引き続き、電場と磁場の性質を調べていきましょう。


今回はファラデーの法則です。まず、モーターを想像してみてください。N 極から S 極へ向かう磁場の中でコイルを回転させると、コイルを貫く磁力線の本数は変化します。この磁力線の時間変化はコイルに起電力を与えます。コイルの成す曲面を $S$ とおいて立式してみましょう。磁束 $B$ と電場 $E$ に関して

\begin{align}
\partial_t\int_{S}\langle B,n\rangle\,dS=-\int_{\partial S}\langle\mathrm{grad}E,dx\rangle
\end{align}

これをファラデーの法則と呼びます。ここで $n$ は $S$ の反転しない単位法線ベクトル場で $\partial S$ には誘導される向きが入っています。右辺にストークスの公式を使います。

\begin{align}
-\int_{\partial S}\langle\mathrm{grad}E,dx\rangle=-\int_S\langle\mathrm{rot}E,n\rangle dS
\end{align}

曲面 $S$ の任意性から微分系の関係式に直すことができます。

\begin{align}
\partial_tB=-\mathrm{rot}E
\end{align}

今回はここまで。結構頻繁にストークスの公式を使います。以前面積ベクトルを実際に計算できるレベルで理解しましょうという話をしましたが、ストークスの公式を使う場面で、本当にストークスの公式のフォーマットになっているのか確認できているのか注意が必要です。ということで、次回は少し話が逸れますが、微分形式の計算例をいくつか取り上げたいと思います。(written by J.Nishigata)


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磁束の保存則