AlxisDataBlog-数学・物理学

今回から電磁気学の話がスタートします。電場と磁場に関する性質を考えていきましょう。

多くの人は砂鉄の実験をやったことがあると思います。これを思い返してみると、磁場というものは N 極から S 極へ向かう閉曲線を連想します。このような磁力線モデルでは、任意の連結領域 $\Omega$ に流入する磁力線本数と流出する磁力線本数は必ず一致します。これを式にすると磁束 $B$ に関して

\begin{align} \int_{\partial\Omega}\langle B,n\rangle\,dS=0 \end{align}

となります。これを磁束の保存則と呼びます。$n$ は $\partial\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場です。何故内積をとっているのかというと、単位面積当たりに垂直に貫く磁力線をカウントするためです。このような計算は以前熱伝導方程式を考えたときにも登場しました。

ストークスの公式を用いると

\begin{align} \int_{\partial\Omega}\langle B,n\rangle\,dS=\int_{\Omega}\mathrm{div}B\,dV \end{align}

ここで領域 $\Omega$ の任意性より、微分系の関係式が得られます。

\begin{align} \mathrm{div}B=0 \end{align}

非常にシンプルな式ですね。この微分系の式には、「磁束は湧き出さない」「磁束には始点も終点も無い」といった意味があり、特異点が存在しないという言い回しで「磁束はモノポール場ではない」と言うこともあります。物理学的に分り易い意味があるのは有難いですね。

今回はここまで。次回はモーターの動作原理にもなっているファラデーの法則について説明します。(written by J.Nishigata)