AlxisDataBlog-数学・物理学


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PSF の式を思い出しましょう。$g(p,q)=u_0(\lambda f_0p,\lambda f_0q)$ とおいて今回のような対称な開口の場合は

\begin{align}
\mathrm{PSF}=\dfrac{\big|\mathscr{F}^{-1}g\big|^2}{\|g\|_2^2}
\end{align}

でしたね。簡単な例として、$D$ が対角線の長さ $d_0$ の正方形の場合、直径 $d_0$ の円板の場合の $2$ 通りの計算をしてみましょう。

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}g&=\int_{-d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}^{d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}e^{2\pi iPp}\,dp\int_{-d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}^{d_0/(2\sqrt{2}\lambda f_0)}e^{2\pi iQq}\,dq\\
&=\dfrac{\sin(\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi P}\dfrac{\sin(\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi Q}\\
&=\dfrac{d_0^2}{2(\lambda f_0)^2}\dfrac{\sin(\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0)}\dfrac{\sin(\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0))}{\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0)}
\end{align}

正方形の場合は $g$ の逆フーリエ像は $\mathrm{sinc}$ 関数の積になります。したがって PSF は

\begin{align}
\dfrac{d_0^2}{2(\lambda f_0)^2}\mathrm{sinc}^2(\pi d_0P/(\sqrt{2}\lambda f_0))\mathrm{sinc}^2(\pi d_0Q/(\sqrt{2}\lambda f_0))
\end{align}

となります。続いて円板の場合を計算してみましょう。$R=\sqrt{P^2+Q^2}$ とおいて

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}g&=2\pi\int_0^{d_0/(2\lambda f_0)}rJ_0(2\pi rR)\,dr\\
&=\dfrac{1}{2\pi R^2}\int_0^{\pi Rd_0/(\lambda f_0)}rJ_0(r)\,dr
\end{align}

以前求めたベッセル関数の導関数の関係式を使うと

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}g&=\dfrac{1}{2\pi R^2}\dfrac{\pi Rd_0}{\lambda f_0}J_1(\pi Rd_0/(\lambda f_0))\\
&=\dfrac{\pi d_0^2}{2(\lambda f_0)^2}\dfrac{\lambda f_0}{\pi R d_0}J_1(\pi Rd_0/(\lambda f_0))
\end{align}

したがって PSF は

\begin{align}
\dfrac{\pi d_0^2}{(\lambda f_0)^2}\bigg\{\dfrac{\lambda f_0}{\pi R d_0}J_1(\pi Rd_0/(\lambda f_0))\bigg\}^2
\end{align}

となります。この PSF にはエアリーパターンという名前が付いています。理論的なコンデンサレンズの PSF ですので、あらゆる場面に登場します。


最後に、求めた $2$ つの PSF を比較してみましょう。簡単にするために $\pi d_0/(\lambda f_0)=1$ とおきます。すると正方形開口の PSF は

\begin{align}
\dfrac{1}{2\pi^2}\mathrm{sinc}^2(P/\sqrt{2})\mathrm{sinc}^2(Q/\sqrt{2})
\end{align}

一方円形開口の PSF は

\begin{align}
\dfrac{1}{\pi}\bigg\{\dfrac{J_1(R)}{R}\bigg\}^2
\end{align}

となります。グラフを描画すれば両者の違いが明確になるでしょう。是非試してみて PSF の雰囲気を知りましょう。今回はここまで。次回は PSF の広がり具合を定量化します。(written by J.Nishigata)


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正方形開口と円形開口の PSF

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前回、顕微鏡分野で用いられる分解能の定義としてレイリー限界 $1.22\lambda F$ をやりました。この値が小さい程、微細なものが観察し易くなるのですが、下限値がどのような値であるか気になりますね。仮に幾らでも零に近づけることができるならば、点光源を厳密に点像として集光できることになります。


今回は、F-値の下限値を調べることによってこの問題を解決しましょう。


回転対称な集光系の同軸上に、軸と直交する被写体 $dS$ をおきます。$dS$ での輝度分布を、軸方向を極とする球面座標表示で $I(\theta,\phi)$ としておきましょう。$(\theta,\phi)$ 方向の光度は

\begin{align}
I(\theta,\phi)\cos\theta\,dS
\end{align}

球面上でのボリュームを持たせると

\begin{align}
I(\theta,\phi)\sin\theta\cos\theta\,dS\,d\theta\,d\phi
\end{align}

となります。このエネルギーを保存するように結像 $d\tilde{S}$ が生じると考えましょう。

\begin{align}
I(\theta,\phi)\sin\theta\cos\theta\,dS\,d\theta\,d\phi=\tilde{I}(\tilde{\theta},\tilde{\phi})\sin\tilde{\theta}\cos\tilde{\theta}\,d\tilde{S}\,d\tilde{\theta}\,d\tilde{\phi}
\end{align}

輝度の保存性より $I=\tilde{I}$ であり、かつ集光系の回転対称性より $\phi=\tilde{\phi}+\pi$ すなわち $d\phi=d\tilde{\phi}$ が成立します。これを考慮してエネルギー保存の式を簡単にすると

\begin{align}
\sin\theta\cos\theta\,dS\,d\theta=\sin\tilde{\theta}\cos\tilde{\theta}\,d\tilde{S}\,d\tilde{\theta}
\end{align}

$dS$ から $d\tilde{S}$ へ結像するときの倍率を $M$ としておきましょう。面積は長さの比の自乗で効くため $M^2\,dS=d\tilde{S}$ ですね。これも代入して $dS$ を消去しましょう。

\begin{align}
\sin\theta\cos\theta\,d\theta=M^2\sin\tilde{\theta}\cos\tilde{\theta}\,d\tilde{\theta}
\end{align}

これを積分すれば、被写体側から見た開口角を $\theta_0$、像側から見た開口角を $\tilde{\theta}_0$ として

\begin{align}
\sin^2\theta_0=M^2\sin^2\tilde{\theta}_0
\end{align}

が得られます。平方根をとれば

\begin{align}
\sin\theta_0=M\sin\tilde{\theta}_0
\end{align}

この関係式は、アッベの正弦条件と呼ばれています。さて、倍率は何であったかというと、ワークの距離 $a$ と結像距離 $\tilde{a}$ の比でしたね。

\begin{align}
a\sin\theta_0=\tilde{a}\sin\tilde{\theta}_0
\end{align}

レンズの公式の成立を維持しながら $a$ を無限遠へ飛ばしてみましょう。左辺は開口半径 $d_0/2$ へ収束し、一方右辺は $\tilde{a}$ が焦点距離 $f_0$ へ収束します。したがって

\begin{align}
\dfrac{1}{2F}=\sin\tilde{\theta}_0
\end{align}

が成立します。この式の左辺は開口数と呼ばれています。顕微鏡分野では F-値よりも開口数の方が馴染みがあります。ついでに覚えておくと良いでしょう。


以上で F-値の下限値が分かります。$\sin$ 関数の上限値は $1$ ですので開口数の上限値も $1$ です。したがって F-値の下限値は $0.5$ であることが導かれます。


結局、レイリー限界を小さくするには $0.61\lambda$ という限界があることが分かりました。これをアッベ限界と呼びます。今回はここまで。次回は今回の話の修正、液浸レンズの話をします。(written by J.Nishigata)


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レイリー限界、ドーズ限界、分解能