AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回、顕微鏡分野で用いられる分解能の定義としてレイリー限界 $1.22\lambda F$ をやりました。この値が小さい程、微細なものが観察し易くなるのですが、下限値がどのような値であるか気になりますね。仮に幾らでも零に近づけることができるならば、点光源を厳密に点像として集光できることになります。


今回は、F-値の下限値を調べることによってこの問題を解決しましょう。


回転対称な集光系の同軸上に、軸と直交する被写体 $dS$ をおきます。$dS$ での輝度分布を、軸方向を極とする球面座標表示で $I(\theta,\phi)$ としておきましょう。$(\theta,\phi)$ 方向の光度は

\begin{align}
I(\theta,\phi)\cos\theta\,dS
\end{align}

球面上でのボリュームを持たせると

\begin{align}
I(\theta,\phi)\sin\theta\cos\theta\,dS\,d\theta\,d\phi
\end{align}

となります。このエネルギーを保存するように結像 $d\tilde{S}$ が生じると考えましょう。

\begin{align}
I(\theta,\phi)\sin\theta\cos\theta\,dS\,d\theta\,d\phi=\tilde{I}(\tilde{\theta},\tilde{\phi})\sin\tilde{\theta}\cos\tilde{\theta}\,d\tilde{S}\,d\tilde{\theta}\,d\tilde{\phi}
\end{align}

輝度の保存性より $I=\tilde{I}$ であり、かつ集光系の回転対称性より $\phi=\tilde{\phi}+\pi$ すなわち $d\phi=d\tilde{\phi}$ が成立します。これを考慮してエネルギー保存の式を簡単にすると

\begin{align}
\sin\theta\cos\theta\,dS\,d\theta=\sin\tilde{\theta}\cos\tilde{\theta}\,d\tilde{S}\,d\tilde{\theta}
\end{align}

$dS$ から $d\tilde{S}$ へ結像するときの倍率を $M$ としておきましょう。面積は長さの比の自乗で効くため $M^2\,dS=d\tilde{S}$ ですね。これも代入して $dS$ を消去しましょう。

\begin{align}
\sin\theta\cos\theta\,d\theta=M^2\sin\tilde{\theta}\cos\tilde{\theta}\,d\tilde{\theta}
\end{align}

これを積分すれば、被写体側から見た開口角を $\theta_0$、像側から見た開口角を $\tilde{\theta}_0$ として

\begin{align}
\sin^2\theta_0=M^2\sin^2\tilde{\theta}_0
\end{align}

が得られます。平方根をとれば

\begin{align}
\sin\theta_0=M\sin\tilde{\theta}_0
\end{align}

この関係式は、アッベの正弦条件と呼ばれています。さて、倍率は何であったかというと、ワークの距離 $a$ と結像距離 $\tilde{a}$ の比でしたね。

\begin{align}
a\sin\theta_0=\tilde{a}\sin\tilde{\theta}_0
\end{align}

レンズの公式の成立を維持しながら $a$ を無限遠へ飛ばしてみましょう。左辺は開口半径 $d_0/2$ へ収束し、一方右辺は $\tilde{a}$ が焦点距離 $f_0$ へ収束します。したがって

\begin{align}
\dfrac{1}{2F}=\sin\tilde{\theta}_0
\end{align}

が成立します。この式の左辺は開口数と呼ばれています。顕微鏡分野では F-値よりも開口数の方が馴染みがあります。ついでに覚えておくと良いでしょう。


以上で F-値の下限値が分かります。$\sin$ 関数の上限値は $1$ ですので開口数の上限値も $1$ です。したがって F-値の下限値は $0.5$ であることが導かれます。


結局、レイリー限界を小さくするには $0.61\lambda$ という限界があることが分かりました。これをアッベ限界と呼びます。今回はここまで。次回は今回の話の修正、液浸レンズの話をします。(written by J.Nishigata)


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分解能の下限値を与えるアッベ限界について

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今まで扱ってきた光学像は、焦点位置で計算したものだけでした。しかし、現実的には誤差無く焦点位置で観測することは容易なことではありません。焦点位置から光軸方向に $\varepsilon$ だけズレてしまったとき、どのような像となるのか確認しておきましょう。


以前計算したフレネル近似による位相成分は、光軸上焦点位置で

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\dfrac{p^2}{2f_0}+\dfrac{q^2}{2f_0}
\end{align}

からレンズによる遅延を減算することにより得られました。$x_0-X=(f_0+\varepsilon)n$ とおいてフレネル近似を修正すると

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\dfrac{p^2}{2f_0}+\dfrac{q^2}{2f_0}+\bigg(1+\dfrac{p^2+q^2}{f_0^2}\bigg)^{-1/2}\varepsilon
\end{align}

となるので、レンズによる遅延を減算した位相成分は

\begin{align}
f_0+\bigg(1+\dfrac{p^2+q^2}{f_0^2}\bigg)^{-1/2}\varepsilon
\end{align}

となります。$\varepsilon=0$ のときは任意の $p,q$ に対して位相が揃っており、すべての波面が強め合うのですが、$\varepsilon\neq 0$ のときは位相は揃いません。レンズの中心を通る光路の位相 $f_0+\varepsilon$ と比較して最も位相がズレている光路はレンズ境界を通る場合であり、開口角を $\theta$ とおいて

\begin{align}
f_0+(1+\tan^2\theta)^{-1/2}\varepsilon=f_0+\varepsilon\cos\theta
\end{align}

です。位相差の最大値 $\varepsilon(1-\cos\theta)$ が充分小さければすべての波面は強め合うと考えることができますね。この、「充分小さい」基準はどのように考えるべきでしょうか。

\begin{align}
\varepsilon(1-\cos\theta)<\dfrac{\lambda}{4}
\end{align}

はレイリー基準と呼ばれています。少し変形すれば

\begin{align}
\varepsilon<\dfrac{\lambda}{8\sin^2(\theta/2)}
\end{align}

となりますね。レイリー基準を満足するズレの上限値 $\lambda/\{8\sin^2(\theta/2)\}$ は焦点深度と呼ばれています。


コンデンサレンズとして機能するような範囲が分かりましたね。今回はここまで。次回はレイリー限界と焦点深度の関係について説明します。(written by J.Nishigata)


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屈折率を考慮したアッベ限界について