AlxisDataBlog-数学・物理学


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今考えている PSF は回転対称な FIR フィルタです。最も簡単な例を挙げると、円板定義関数が思いつきます。このときの畳込み像は、円板定義関数で決まるポンペイユ変換による像と解釈することもできます。


畳込みの許容関数に強い条件が課されていればポンペイユ変換は単射となり簡単なのですが、$2$ 階微分連続という条件のみのような弱い条件の場合はポンペイユ順問題の反例のようにポンペイユ変換の自明ではない零点が無限に存在してしまいます。


ポンペイユ変換が単射ではなくなってしまう場合のデコンボリューションは、ポンペイユ変換の零点全体による商空間で議論しなければ意味がありません。


弱い前提条件からは弱い解が得られる、ということですね。前回正方形のポンペイユ変換で確認した通り、前提条件によっては大きく反転公式のロジックが変わってしまう可能性がありますので、厳密に前提条件を定めてから議論を進めるよりも特定の方法を使う上で必要に応じて設定していく方が建設的です。次回は、とりあえず畳込みの微分を計算してみましょう。(written by J.Nishigata)


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デコンボリューションとポンペイユ変換

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    inlineMath: [['$', '$']]
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前回計算した $1$ 階の導関数は

\begin{align}
\partial_pg(y)=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle f(re(\theta)+y)\,d\theta-\int_0^1\dfrac{X\partial k(X)}{r}\bigg\{\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\bigg\}\,dX
\end{align}

でした。今回はもう一回微分した $\partial_q\partial_pg$ を計算します。第 $1$ 項の計算は簡単ですね。

\begin{align}
&\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle \{\langle q,e(\theta)\rangle\partial_{e(\theta)}f(re(\theta)+y)+\langle q,e(\theta+\pi/2)\rangle\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(re(\theta)+y)\}\,d\theta\\
&=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle \bigg\{\langle q,e(\theta)\rangle\partial_rf(re(\theta)+y)+\dfrac{\langle q,e(\theta+\pi/2)\rangle}{r}\partial_{\theta}f(re(\theta)+y)\bigg\}\,d\theta\\
&=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\partial_rf(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{k(1)}{r^2}\int_0^{2\pi}\{\langle p,e(\theta+\pi/2)\rangle\langle q,e(\theta+\pi/2)\rangle-\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\}f(re(\theta)+y)\,d\theta
\end{align}

一方、第 $2$ 項は

\begin{align}
&-\int_0^1\dfrac{X\partial k(X)}{r^2}\bigg\{\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\partial_Xf(rXe(\theta)+y)\bigg\}\,dX\\
&-\int_0^1\dfrac{\partial k(X)}{r^2}\bigg\{\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta+\pi/2)\rangle\partial_{\theta}f(rXe(\theta)+y)\bigg\}\,dX\\
&=-\dfrac{1}{r^2}\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\bigg\{\partial k(1)f(re(\theta)+y)-\int_0^1\{\partial k(X)+X\partial^2k(X)\}f(rXe(\theta)+y)\,dX\bigg\}\,d\theta\\
&+\int_0^1\dfrac{\partial k(X)}{r^2}\bigg\{\int_0^{2\pi}\{\langle p,e(\theta+\pi/2)\rangle\langle q,e(\theta+\pi/2)\rangle-\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\}f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\bigg\}\,dX
\end{align}

以上より $2$ 階の導関数は

\begin{align}
\partial_q\partial_pg&=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\partial_rf(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{k(1)}{r^2}\int_0^{2\pi}\{\langle p,e(\theta+\pi/2)\rangle\langle q,e(\theta+\pi/2)\rangle-\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\}f(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{1}{r^2}\int_0^{2\pi}\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\bigg\{\partial k(1)f(re(\theta)+y)-\int_0^1\{\partial k(X)+X\partial^2k(X)\}f(rXe(\theta)+y)\,dX\bigg\}\,d\theta\\
&+\int_0^1\dfrac{\partial k(X)}{r^2}\bigg\{\int_0^{2\pi}\{\langle p,e(\theta+\pi/2)\rangle\langle q,e(\theta+\pi/2)\rangle-\langle p,e(\theta)\rangle\langle q,e(\theta)\rangle\}f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\bigg\}\,dX
\end{align}

かなり複雑な式になってしまいましたが、独立な場合すなわち $(p,q)=(e_1,e_1),(p,q)=(e_2,e_2),(p,q)=(e_1,e_2)$ の場合を具体的に書いてみます。

\begin{align}
\partial^2_1g&=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\partial_rf(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{k(1)}{r^2}\int_0^{2\pi}(\sin^2\theta-\cos^2\theta)f(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{1}{r^2}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\bigg\{\partial k(1)f(re(\theta)+y)-\int_0^1\{\partial k(X)+X\partial^2k(X)\}f(rXe(\theta)+y)\,dX\bigg\}\,d\theta\\
&+\int_0^1\dfrac{\partial k(X)}{r^2}\bigg\{\int_0^{2\pi}(\sin^2\theta-\cos^2\theta)f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\bigg\}\,dX
\end{align}
\begin{align}
\partial^2_2g&=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\partial_rf(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{k(1)}{r^2}\int_0^{2\pi}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)f(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{1}{r^2}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\bigg\{\partial k(1)f(re(\theta)+y)-\int_0^1\{\partial k(X)+X\partial^2k(X)\}f(rXe(\theta)+y)\,dX\bigg\}\,d\theta\\
&+\int_0^1\dfrac{\partial k(X)}{r^2}\bigg\{\int_0^{2\pi}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\bigg\}\,dX
\end{align}
\begin{align}
\partial_1\partial_2g&=\dfrac{k(1)}{r}\int_0^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\partial_rf(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad +\dfrac{2k(1)}{r^2}\int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta f(re(\theta)+y)\,d\theta\\
&\quad -\dfrac{1}{r^2}\int_0^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\bigg\{\partial k(1)f(re(\theta)+y)-\int_0^1\{\partial k(X)+X\partial^2k(X)\}f(rXe(\theta)+y)\,dX\bigg\}\,d\theta\\
&-2\int_0^1\dfrac{\partial k(X)}{r^2}\bigg\{\int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta f(rXe(\theta)+y)\,d\theta\bigg\}\,dX
\end{align}

今回はここまで。計算練習のような回になってしまいましたが、次回はデコンボリューションの方針である $\psi$ を計算することに整合する導関数を考えましょう。(written by J.Nishigata)


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畳込みの導関数