AlxisDataBlog-数学・物理学


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  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、定義からやりましょう。

\begin{align}
A(y)=\mathrm{pv.}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(y-x)}{x}\,dx
\end{align}

が存在するとき $f$ はヒルベルト変換可能であると言い、$A$ を $f$ のヒルベルト変換 $\mathscr{H}f$ と定義します。ここで $\mathrm{pv.}$ は発散特異点 $x=0$ の近傍で

\begin{align}
\mathrm{pv.}\int_{\mathbb{R}}=\lim_{\varepsilon\to+0}\int_{\mathbb{R}\setminus(-\varepsilon,\varepsilon)}
\end{align}

のように工夫した積分(コーシーの主値積分という)を意味します。ヒルベルト変換は電気回路等の信号処理分野で登場することが多いため、ご存じの方も多いでしょう。


どのような関数がヒルベルト変換可能であるのかというと、例えば絶対可積分な微分連続関数はヒルベルト変換可能ですね。


$f$ が絶対可積分な微分連続関数ならば $f$ はフーリエ変換も可能であり、畳込み定理より $\mathscr{H}f$ もフーリエ変換可能で

\begin{align}
m(z)\mathscr{F}f(z)=\mathscr{F}\mathscr{H}f(z),\ m(z)=\mathrm{pv.}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{e^{-2\pi ixz}}{x}\,dx
\end{align}

が成立します。$m(z)$ を計算すればヒルベルト変換の特徴が明確になります。$m(z)$ は留数定理を使えば簡単に計算できます。$x=re^{i\theta}$ とおくと

\begin{align}
|x|\dfrac{e^{-2\pi ixz}}{x}=e^{2\pi zr\sin\theta}e^{-2\pi izr\cos\theta}e^{-i\theta}\to 0\ \text{as }r\to\infty\ \text{with }z\sin\theta<0
\end{align}

これに注意して $z<0$ の場合

\begin{align}
m(z)=\pi i\mathrm{Res}(0)=\pi i
\end{align}

$z>0$ の場合は

\begin{align}
m(z)=-\pi i\mathrm{Res}(0)=-\pi i
\end{align}

以上でヒルベルト変換の特徴が分かりました。

\begin{align}
m(z)\mathscr{F}\mathscr{H}f(z)&=m(z)^2\mathscr{F}f(z)\\
&=-\pi^2\mathscr{F}f(z)\\
&=\mathscr{F}[-\pi^2f](z)
\end{align}

より逆ヒルベルト変換も分かりますね。今回はここまで。次回はヒルベルト変換の拡張を考えていきます。(written by J.Nishigata)


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ヒルベルト変換

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回定義した $K(x,y)$ の級数を考えます。$a < y_1 < \cdots < y_n < b$ に対して

\begin{align}
\zeta(x)=\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(y_i)K(x,y_i)
\end{align}

この級数から、例えば $i$ 番目と $j$ 番目だけを取り出してペアを作ると $\kappa$ の定義($3$ つ目の性質)が使えます。式を簡単にするために $[i]=\eta(y_i)K(x,y_i)$ と書くことにしましょう。


$n$ が偶数のとき

\begin{align}
\zeta=(-[1]+[2])+\dots+(-[n-1]+[n])
\end{align}

という具合に分けてみます。$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアは零以上ですので

\begin{align}
\zeta\ge (-[1]+[2])\ge 0
\end{align}

が成り立ちます。$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $(-[i]+[i+1])$ を除くすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i]+[i+1])
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i-1]+[i])\ge 0
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[n-1]+[n])\ge 0
\end{align}

下からの評価ができました。次はペアのとり方を変えて

\begin{align}
\zeta=(-[1]+[n])+\big\{([2]-[3])+\dots+([n-2]-[n-1])\big\}
\end{align}

として、区間ごとに評価してみましょう。$a < x < y_1$ の区間では $(-[1]+[n])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le (-[1]+[n])
\end{align}

$y_1 < x < y_2$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le (-[1]+[n])\le 0
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $([i]-[i+1])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le ([i]-[i+1])
\end{align}

$i$ が $1$ より大きい奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le ([i-1]-[i])\le 0
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間では $(-[1]+[n])$ を除くすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le (-[1]+[n])
\end{align}

上からの評価ができました。以上で $n$ が偶数の場合の級数 $\zeta$ の評価が完成しました。同様にして $n$ が奇数の場合も考えてみましょう。奇数の場合は $2$ 組ペアで分けていったときに必ず $1$ 項余りができます。この余りに関しては $\kappa$ の定義の $2$ つ目の条件 $-1\le(x-y)\kappa(x,y)$ を

\begin{align}
K(x,y)
\begin{cases}
\le 0\ \text{for }x < y,\\
\ge 0\ \text{for }x > y
\end{cases}
\end{align}

という形で用います。

\begin{align}
\zeta=\big\{(-[1]+[2])+\dots+(-[n-2]+[n-1])\big\}-[n]
\end{align}

$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[1]+[2])\ge 0
\end{align}

$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $(-[i]+[i+1])$ を除くすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i]+[i+1])
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアと $-[n]$ は零以上で

\begin{align}
\zeta\ge (-[i-1]+[i])\ge 0
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアは零以上で

\begin{align}
\zeta\ge -[n]
\end{align}

表現を変えて

\begin{align}
\zeta=-[1]+\big\{([2]-[3])+\dots+([n-1]-[n])\big\}
\end{align}

とします。$a < x < y_1$ の区間ではすべてのペアは零以下で

\begin{align}
\zeta\le -[1]
\end{align}

$i$ が奇数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間ではすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align}
\zeta\le [i+1]-[i+2]\le 0
\end{align}

$i$ が偶数のとき $y_i < x < y_{i+1}$ の区間では $[i]-[i+1]$ を除くすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align}
\zeta\le [i]-[i+1]
\end{align}

$y_n < x < b$ の区間ではすべてのペアと $-[1]$ は零以下で

\begin{align}
\zeta\le [n-1]-[n]\le 0
\end{align}

以上で $n$ が奇数の場合も $\zeta$ の評価ができました。これで $\zeta$ の符号(零以上か零以下か)がスイッチする様子も分かりますね。今回はここまで。次回は $\zeta$ の絶対値を評価します。(written by J.Nishigata)


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ヒルベルト変換を拡張する方針