AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回 $\zeta$ の評価は終わっているので絶対値評価は簡単です。$a < x < y_1$ のとき

\begin{align}
&|\zeta|\le(-[1]+[n])\ \text{for even }n,\\
&|\zeta|\le -[1]\ \text{for odd }n
\end{align}

$[n]$ は零以下ですから $|\zeta|\le -[1]$ という評価が成立します。$\kappa$ の定義の $2$ 番目の性質を使うと

\begin{align}
-[1]=\eta(y_1)|K(x,y_1)|=\eta(y_1)\bigg|\dfrac{1+(x-y_1)\kappa(x,y_1)}{x-y_1}\bigg|\le\dfrac{(1+c_0)\eta(y_1)}{|x-y_1|}
\end{align}

したがって

\begin{align}
|\zeta|\le\dfrac{(1+c_0)\eta(y_1)}{|x-y_1|}
\end{align}

続いて $y_i < x < y_{i+1}$ のとき

\begin{align}
|\zeta|\le\big|-[i]+[i+1]\big|\le \big|[i]\big|+\big|[i+1]\big|
\end{align}

同様に $\kappa$ の性質を使って

\begin{align}
|\zeta|\le\dfrac{(1+c_0)\eta(y_i)}{|x-y_i|}+\dfrac{(1+c_0)\eta(y_{i+1})}{|x-y_{i+1}|}
\end{align}

最後に $y_n < x < b$ のとき

\begin{align}
&|\zeta|\le(-[1]+[n])\ \text{for even }n,\\
&|\zeta|\le [n]\ \text{for odd }n
\end{align}

ここに $-[1]$ は零以下であり

\begin{align}
|\zeta|\le\dfrac{(1+c_0)\eta(y_n)}{|x-y_n|}
\end{align}

以上で絶対値評価が完了しました。今回はここまで。次回は拡張ヒルベルト変換の単射性を題材にして $\zeta$ の性質を使ってみましょう。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

積分核の級数の絶対値評価

AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






興味の対象は、微分連続関数 $f$ の符号をスイッチさせる零点です。この「符号をスイッチさせる零点」の定義から考えていきましょう。


零点を左右の近傍の様子から分類します。


i). 恒等的に零
ii). 負、若しくは零と負の間の振動(N 型と呼ぶ)
iii). 正、若しくは零と正の間の振動(P 型と呼ぶ)
iv). 正負の振動(NP 型と呼ぶ)


どの象限に入るのかという意味での分類ですね。左右それぞれ $4$ 通りに分類されるので、トータルのパターン数は $16$ 通りですね。


符号の変化を考えているとき、そもそも符号が確定しない i) は扱い辛いでしょう。区間的に零となる場合は、その区間の境界近傍の様子を見なければなりません。


零点 $x$ に対して、$x\in [x_1,x_2]\subseteq f^{-1}(0)$ となるような $x_1$ の下限値と $x_2$ の上限値をそれぞれ $\mathrm{lpt}(x),\mathrm{rpt}(x)$ と書くことにします。零点を $\mathrm{lpt},\mathrm{rpt}$ でフィルタリングしてから扱うことで扱い辛さが解消されます。


すなわち、$\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍は N 型、P 型、NP 型の何れかになり、$\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍も同様に N 型、P 型、NP 型の何れかになります。


符号をスイッチさせるという現象は


i). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍が N 型かつ $\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍が P 型の場合
ii). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍が P 型かつ $\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍が N 型の場合
iii). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍と$\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍の少なくとも一方が NP 型の場合


このようなときに生じます。符号をスイッチさせる $\mathrm{lpt}(x)$ 全体を $W$ 、iii) のパターンで符号をスイッチさせる NP 型の端点全体を $W_{\mathrm{NP}}$ とおきます。今回はここまで。次回は $W_{\mathrm{NP}}$ の特徴を考えます。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

有界区間で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その１