AlxisDataBlog-数学・物理学


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興味の対象は、微分連続関数 $f$ の符号をスイッチさせる零点です。この「符号をスイッチさせる零点」の定義から考えていきましょう。


零点を左右の近傍の様子から分類します。


i). 恒等的に零
ii). 負、若しくは零と負の間の振動(N 型と呼ぶ)
iii). 正、若しくは零と正の間の振動(P 型と呼ぶ)
iv). 正負の振動(NP 型と呼ぶ)


どの象限に入るのかという意味での分類ですね。左右それぞれ $4$ 通りに分類されるので、トータルのパターン数は $16$ 通りですね。


符号の変化を考えているとき、そもそも符号が確定しない i) は扱い辛いでしょう。区間的に零となる場合は、その区間の境界近傍の様子を見なければなりません。


零点 $x$ に対して、$x\in [x_1,x_2]\subseteq f^{-1}(0)$ となるような $x_1$ の下限値と $x_2$ の上限値をそれぞれ $\mathrm{lpt}(x),\mathrm{rpt}(x)$ と書くことにします。零点を $\mathrm{lpt},\mathrm{rpt}$ でフィルタリングしてから扱うことで扱い辛さが解消されます。


すなわち、$\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍は N 型、P 型、NP 型の何れかになり、$\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍も同様に N 型、P 型、NP 型の何れかになります。


符号をスイッチさせるという現象は


i). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍が N 型かつ $\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍が P 型の場合
ii). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍が P 型かつ $\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍が N 型の場合
iii). $\mathrm{lpt}(x)$ の左近傍と$\mathrm{rpt}(x)$ の右近傍の少なくとも一方が NP 型の場合


このようなときに生じます。符号をスイッチさせる $\mathrm{lpt}(x)$ 全体を $W$ 、iii) のパターンで符号をスイッチさせる NP 型の端点全体を $W_{\mathrm{NP}}$ とおきます。今回はここまで。次回は $W_{\mathrm{NP}}$ の特徴を考えます。(written by J.Nishigata)


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零点の分類

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まず $V$ を互いに素である連続する区間の和に分解します。分解されたそれぞれの区間で NP 型の零点を含むものを集めて $\{V_i\}$ と書いておきましょう。


$\{V_i\}$ は集積点をもたないことは分かるでしょうか。もしも集積点が存在すると仮定すると、$V_i$ は必ず零点を含むことにより集積点での $f$ の微分係数は零になります。一方、集積点は $\partial V_i$ の集積点でもあるため $\partial V_i$ の条件である $|\partial f|=\varepsilon$ も満たされていなければなりません。以上の矛盾により $\{V_i\}$ は集積点をもちません。


このことにより $\{V_i\}$ は昇順に並び変えることができます。これを改めて $\{V_i\}$ と定義しておきましょう。


何れの $V_i$ にも含まれない $W$ の元と、$\{\inf (W\cap V_i),\sup (W\cap V_i)\}$ を昇順に並べて $\{w_i\}$ とおきます。すると、或る関数 $A(i)\in\mathbb{Z}$ が存在して $\bigcup_{(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset}(w_i,w_{i+1})$ に制限した関数

\begin{align}
(-1)^{A(i)}f(x)
\end{align}

は半定値になります。$\{w_i\}$ に $\{W\cap V_i\}$ の元を適当に追加して、改めて昇順に $\{w_i\}$ と定義すると $A(i)=i$ とすることができます。


この数列 $\{w_i\}$ に対して $\zeta$ を

\begin{align}
\zeta(x)=\sum_i(-1)^i\eta(w_i)K(x,w_i)
\end{align}

と定義しましょう。$\zeta f$ は $\bigcup_{(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset}(w_i,w_{i+1})$ で半定値となってくれます。

\begin{align}
W_1=\{w_i:(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset\},\ W_2=\{w_i:(w_i,w_{i+1})\cap W\neq\emptyset\}
\end{align}

のように $\{w_i\}$ を分けておきます。今回はここまで。次回は再度拡張ヒルベルト変換の単射性の問題に挑戦してみたいと思います。(written by J.Nishigata)


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NP 型の零点近傍での関数の評価