AlxisDataBlog-数学・物理学

次のような積分変換を考えてみましょう。

\begin{align} \mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos(x-y)}{\sin(x-y)}f(x)\,dx \end{align}

積分核を分離して

\begin{align} \mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)}f(x)\,dx+\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{\sin(x-y)}f(x)\,dx \end{align}

とすれば円周上のヒルベルト変換の性質が使えます。

\begin{align} f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx} \end{align}

を代入してみましょう。

\begin{align} \mathscr{H}f(y)=-2\pi i\sum_{n=-\infty}^{-1}c_ne^{iny}+2\pi i\sum_{n=1}^{\infty}c_ne^{iny} \end{align}

定数項が消えてしまっていますね。残念ながらこの積分変換は定数分の不定性があり単射ではありません。以前説明した通り、単射にするためには

\begin{align} I_f=\int_0^{2\pi}f\,dx(=2\pi c_0) \end{align}

が必要になります。$f\mapsto\{\mathscr{H}f,I_f\}$ とすれば単射になります。続いて反転公式を考えてみましょう。$\mathscr{H}f$ はもう一回ヒルベルト変換することができます。

\begin{align} \mathscr{H}^2f(y)&=-4\pi^2\sum_{n\neq 0}c_ne^{iny}\\ &=-4\pi^2\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{iny}+2\pi I_f\\ &=-4\pi^2f(y)+2\pi I_f \end{align}

非常にきれいな反転公式が完成しました。今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換を拡張します。(written by J.Nishigata)

円周上のヒルベルト変換の組み合わせ