AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回と方針は同じです。今回は積分核が $1/\sin x$ のヒルベルト変換をやります。

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_0^{2\pi}\dfrac{f(x)}{\sin(x-y)}\,dx
\end{align}

前回と同じく $f$ の周期は $2\pi$ です。

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}\dfrac{f(x)-f(x+\pi)}{\sin(x-y)}\,dx
\end{align}

より、周期 $\pi$ の関数は消えます。

\begin{align}
\mathscr{H}\Big[\sum c_ne^{inx}\Big]=\mathscr{H}\Big[\sum c_{2n+1}e^{i(2n+1)x}\Big]
\end{align}

したがって残りの半周期 $\pi$ の関数の像だけ計算すれば良いですね。

\begin{align}
\mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)&=2\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}\dfrac{e^{i(2n+1)x}}{\sin(x-y)}\,dx\\
&=2e^{i(2n+1)y}\mathrm{pv.}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{e^{i(2n-1)x}+2ie^{2inx}\sin x}{\sin x}\,dx
\end{align}

ここで $e^{2inx}$ の積分は $n=0$ のとき

\begin{align}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}dx=\pi
\end{align}

$n\neq 0$ のとき

\begin{align}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{2inx}\,dx=\dfrac{1}{2in}[e^{2inx}]_{-\pi/2}^{\pi/2}=0
\end{align}

したがって得られる漸化式は $a_n=\mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)$ とおいて

\begin{align}
&a_0=e^{2iy}a_{-1}+4\pi ie^{iy},\\
&a_n=e^{2iy}a_{n-1}\ \text{for }n\neq 0
\end{align}

です。まず、初項を計算すると

\begin{align}
a_0=2e^{iy}\mathrm{pv.}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{\cos x+i\sin x}{\sin x}\,dx=2\pi ie^{iy}
\end{align}

これを用いて

\begin{align}
2\pi ie^{iy}=e^{2iy}a_{-1}+4\pi ie^{iy}
\end{align}

整理すると

\begin{align}
a_{-1}=-2\pi ie^{-iy}
\end{align}

これら以外は等比数列の漸化式を解くだけですので、簡単に求まりますね。

\begin{align}
\mathscr{H}[e^{i(2n+1)x}](y)=\mathrm{sgn}(2n+1)2\pi ie^{i(2n+1)y}
\end{align}

今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換で単射となる変換を作ります。(written by J.Nishigata)


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円周上のヒルベルト変換その２

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積分核が $\cos x/\sin x$ のヒルベルト変換の拡張をやります。やり方は数直線上での拡張と同じです。


i). $\kappa:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ は連続関数である。
ii). 任意の $a$ に対して連続な有界関数 $\eta:(a,a+\pi)\to\mathbb{R}^+$ が存在して $x,y_1,y_2\in(a,a+\pi),y_1 < y_2$ のとき

\begin{align}
-\eta(y_1)\{\cos(x-y_1)+\sin(x-y_1)\kappa(x,y_1)\}\sin(x-y_2)+\eta(y_2)\{\cos(x-y_2)+\sin(x-y_2)\kappa(x,y_2)\}\sin(x-y_1)\ge 0
\end{align}

iii). $\kappa$ は周期性 $\kappa(x,y)=\kappa(x+\pi,y)=\kappa(x,y+\pi)$ をもつ。


このような $\kappa$ に対して

\begin{align}
K(x,y)=\dfrac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)}+\kappa(x,y)
\end{align}

を積分核とする積分変換

\begin{align}
\mathscr{H}f(y)=\mathrm{pv.}\int_{y-\pi/2}^{y+\pi/2}K(x,y)f(x)\,dx
\end{align}

を円周上の拡張ヒルベルト変換とします。許容関数は周期 $\pi$ の微分連続関数としておくと良いでしょう。このように関数を制限しておけば、この拡張ヒルベルト変換のカーネル空間は高々 $1$ 次元となります。今回はここまで。次回はもう一方の円周上のヒルベルト変換を拡張します。(written by J.Nishigata)


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円周上のヒルベルト変換の組み合わせ