AlxisDataBlog-数学・物理学

前回は X-線変換をやりましたが、今回やるラドン変換は X-線変換の次元を拡張したものになっています。$\mathbb{R}^n$ 上の $n-m$ 次元平面を

\begin{align} \Omega=\{x\in\mathbb{R}^n:x^1=\cdots=x^m=0\} \end{align}

とおき、$n-m$ 次元平面全体を、剛体運動群 $G$ の元 $g$ を用いて $\{g\Omega\}$ と書いておきます。$g\Omega$ 上での $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ の積分

\begin{align} \mathscr{R}f(g)=\int_{\Omega}f(gx)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n \end{align}

をラドン変換を呼びます。今回は、ラドン変換の反転公式を考えましょう。

平面 $\Omega$ 上の単位ベクトル $p$ と $\Omega$ の直交空間上の単位ベクトル $q$ に対して、$p$ から $q$ 方向へ回転させる($p,q$ 成分だけが回転する)回転微分を $\partial_{pq}$ と書くことにします。

\begin{align} \partial_q(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)&=\int_{\Omega}\partial_q(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n\\ &=\int_{\Omega}\dfrac{1}{\langle p,x\rangle}\partial_{pq}(g^{-1}f)\,dx^{m+1}\wedge\dots\wedge x^n \end{align}

ここで積分領域を $\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}$ と $s$ 方向へ分離すると

\begin{align} \partial_q(g^{-1}\mathscr{R}f)(1)=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{s}\bigg\{\int_{\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}}\partial_{pq}(g^{-1}f)\xi^p\bigg\}\,ds \end{align}

のようにヒルベルト変換が登場します。ここに

\begin{align} \xi^p=\sum_{i=m+1}^n (-1)^{i-m-1}p^i\,dx^{m+1}\wedge\cdots\hat{i}\cdots\wedge dx^n \end{align}

は $\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}$ の体積形式です。後は今までと同様にヒルベルト像に関して解き、逆ヒルベルト変換を実行することによって

\begin{align} \int_{\{x\in\Omega:\langle p,x\rangle=s\}}g^{-1}f\xi^p \end{align}

を求めることができます。この式は、次元落ちしたラドン変換ですね。以上の操作を繰り返すことにより次元は降下していき、最終的には零次元の積分値 $f$ が計算できます。今回はここまで。次回も応用例です。(written by J.Nishigata)