AlxisDataBlog-数学・物理学


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$\mathscr{V}_if(r,q,z),\mathscr{S}_if(r,q,z)$ の積分領域は $rq+z$ を中心とする半径 $r$ の球面です。一方、$\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq),\mathscr{S}_if(r,-q,z+2rq)$ の積分領域も同じく $rq+z$ を中心とする半径 $r$ の球面になっています。この相関から何が得られるでしょうか。

\begin{align}
&I_1=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\varphi,q,x)f(rx\sin\varphi+rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_{-q}}A(\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi-rq\cos\varphi+rq+z)\omega^{-q}\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

このような $2$ 者を比較してみましょう。$I_2$ は曲面 $\partial S_q$ の向きが逆になっていますが、微分形式の向きもそれに合わせて逆向きになっているので相殺します。

\begin{align}
I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi-rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

更に $\varphi=\pi-\varphi$ の置換を実行すると

\begin{align}
I_2=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}A(\pi-\varphi,-q,x)f(rx\sin\varphi+rq\cos\varphi+rq+z)\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

すなわち $A$ の引数を $(\varphi,q,x)\mapsto(\pi-\varphi,-q,x)$ に変更すると $I_1$ から $I_2$ へ変わるということが分かります。今まで計算してきた式にこれをあてはめてみましょう。


まず、$\mathscr{V}_if$ の定義式から

\begin{align}
&\mathscr{V}_if(r,q,z)=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1-\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi(1+\cos\varphi) f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

和と差を考えれば

\begin{align}
&\mathscr{V}_if(r,q,z)+\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\mathscr{V}_if(r,q,z)-\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)=-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}x\sin^{n-i-1}\varphi\cos\varphi f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

続いて $q$ に関して微分した式から

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (-(1-\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi ((1+\cos\varphi)\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

これも同様に和と差をとり

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=2r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi (\cos\varphi\partial_q+\sin\varphi\partial_x)f\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=-2r\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i}\varphi \partial_qf\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

$z$ に関して微分した式からも同様にして計算すると

\begin{align}
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle+\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi,\\
&\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,q,z)\rangle-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{u_j}\mathscr{V}_if(r,-q,z+2rq)\rangle=-2\int_0^{\pi}\bigg\{\int_{\partial S_q}\sin^{n-i-1}\varphi\cos\varphi \partial_xf\omega^q\bigg\}\,d\varphi
\end{align}

が得られます。今回はここまで。次回は球面の族に関する積分変換の漸化式を作ります。(written by J.Nishigata)


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偶関数成分と奇関数成分の分離

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前回、球面の族に関する積分変換の漸化式を作りましたが、$\mathscr{S}_if$ から $\mathscr{V}_if$ を計算するロジックが抜けていました。今回はこの部分の証明をやります。


$\mathscr{V}_if(r,q,z)$ を $q$ の関数として扱いましょう。$V(q)=\mathscr{V}_if(r,q,z)$ とおきます。

\begin{align}
d\sum_{j=1}^nV^j\omega^{e_j}=-\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega
\end{align}

であることに注意して $v\in S^{n-1}$ に対して

\begin{align}
\int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^nV^j\omega^{e_j}
\end{align}

$v$ に直交する正規直交基底を $\{v_j\}$ とおくと右辺は

\begin{align}
-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v+\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,v_j\rangle\omega^{v_j}
V^j\omega^{e_j}
\end{align}

となります。$\partial S_v$ 上では

\begin{align}
\langle v,dq\rangle\wedge\omega^{v_j}=(\langle v,q\rangle\langle v_j,q\rangle-\langle v,v_j\rangle)\omega=0
\end{align}

が成立するので

\begin{align}
-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v+\sum_{j=1}^{n-1}\langle V,v_j\rangle\omega^{v_j}
V^j\omega^{e_j}=-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v
\end{align}

以上より

\begin{align}
\int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\langle V,v\rangle\omega^v
\end{align}

が得られます。ここで $\partial_{qu}W=\langle u,V\rangle$ なる $W$ が存在すると仮定しましょう。上の式は

\begin{align}
\int_{S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega=-\int_{\partial S_v}\partial_{qv}W\omega^v
\end{align}

と変形できます。この式に見覚えはありますね。右辺はファンク変換に球面ラプラシアンを掛けた式です。一方、左辺を $S_v$ 上ではなく $\partial S_v$ 上で積分した場合には

\begin{align}
\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\langle u_j,\partial_{qu_j}V\rangle\omega^v&=\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\partial_{qu_j}\langle u_j,V\rangle\omega^v\\
&=\int_{\partial S_v}\sum_{j=1}^{n-1}\partial^2_{qu_j}W\omega^v\\
&=\int_{\partial S_v}\Delta^SW\omega^v
\end{align}

となります。以上の $2$ つの式を連立すれば、ファンク-ヘッケの定理より $H^0$ 分の不定性を除いて $W$ を求めることができます。今回はここまで。次回は、$W$ の存在命題を考えます。(written by J.Nishigata)


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