AlxisDataBlog-数学・物理学


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  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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まず、環状項をラプラシアンの冪級数でパラメトライズしておきます。

\begin{align}
&\psi=\sum_{i=0}^{\infty}\alpha^i(r^2\Delta)^i\langle 1\rangle_k,\\
&r\partial_r\psi=\sum_{i=1}^{\infty}\beta^i(r^2\Delta)^i\langle 1\rangle_k
\end{align}

コスト関数は前回登場した

\begin{align}
\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta
\end{align}

の自乗平均を使います。

\begin{align}
E=\dfrac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\bigg\{\int_0^{2\pi}(\partial_r-\cos\theta\partial_{y^1}-\sin\theta\partial_{y^2})\psi(r,z+re(\theta))\,d\theta\bigg\}^2\,dz
\end{align}

平均処理をする理由は、$1$ 点のみでの係数の算出では統計的な誤差が乗ってしまうからです。画像全体でひと組の係数を求めたい場合は $\Omega$ を画像全体に設定すれば良いでしょう。


コスト関数 $E$ の最小値問題を解くことにより $\alpha,\beta$ が得られ、環状項を計算することができるようになります。以上で最初の課題「PSF が未知な場合の対処法」は解決しました。(written by J.Nishigata)


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ブラインド-デコンボリューションのコスト関数

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  },
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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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係数 $\alpha,\beta$ を自由空間でとってしまうと、そもそも自明な解 $\alpha=0,\beta=0$ が出てきてしまい意味がありません。係数は原点を通らない何かしらの曲面に乗っているという制約を与える必要があります。


$\langle 1\rangle_k=1$ のような特別な場合を考えると $1$ 次以上のラプラシアンの項は全て消えるので零次の項 $\alpha^0\langle 1\rangle_k$ のみが残ります。このとき $\psi=2\pi$ ですので、$\alpha^0=2\pi$ とすればよいでしょう。この結果を一般の場合にも反映させましょう。すなわち $\alpha^0=2\pi$ という曲面を条件として追加します。以上が最も簡単な条件です。


もう少し考えてみましょう。円板定義関数を PSF とすれば $\beta^1=\pi$ になります。これを一般の場合に反映させてもよさそうです。先程の条件と組み合わせると、$\alpha^0=2\pi,\beta^1=\pi$ という曲面を条件として追加することになりますね。


$(\alpha^0,\beta^1)$ が円周上に存在するという条件でも面白そうですね。様々な曲面で試してみて、環状項の近似が上手くいくか実験してみると良いでしょう。(written by J.Nishigata)


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STFT 不確定性の課題と計算量の課題の解決