AlxisDataBlog-数学・物理学

前回、ベッセル方程式の特殊解としてベッセル関数を作りましたが、級数が収束するか否か確認していませんでした。これが今回のテーマです。

収束する級数といえば、どんなものを思い浮かべるでしょうか。

\begin{align} |\gamma|< 1\Longrightarrow\sum_{n=0}^{\infty}\gamma^n=\dfrac{1}{1-\gamma} \end{align}

このような等比級数を参考にすることができそうです。すなわち

\begin{align} \lim_{n\to\infty}\bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\exists\gamma < 1 \end{align}

という条件が成立しているならば、$\{a_n\}$ の級数は収束するのではないでしょうか。これを確認していきましょう。

\begin{align} \varepsilon=\dfrac{1-\gamma}{2} \end{align}

のように $\varepsilon$ を定義して、$1-\varepsilon$ を閾値にして比を評価しましょう。或る $N$ が存在して、任意の $n\ge N$ に対して

\begin{align} \bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|< 1-\varepsilon \end{align}

が成り立ちます。この評価式から直ちに

\begin{align} |a_{n+N}|< (1-\varepsilon)^n|a_N|,\ n=0,1,\ldots \end{align}

が得られます。$N$ 番以降の絶対値の総和は等比級数で評価されて収束することが分ります。0 から $N-1$ 番までの総和は当然のことながら確定値ですので、結局 $\{a_n\}$ の級数は「絶対収束」します。

絶対収束というものは、絶対値の級数(級数の絶対値ではありません)が収束するという、通常の級数の収束よりも強い特徴を意味します。すなわち、級数が絶対収束するならば級数は収束する、と言えます。(証明は省きますが、やってみてくださいね)

以上のような収束判定法をダランベールの収束判定と呼びます。早速、ベッセル関数を作ったときの級数に適応してみましょう。

\begin{align} \bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|&=\dfrac{n!\Gamma(n+\alpha+1)}{(n+1)!\Gamma(n+\alpha+2)}\dfrac{x^2}{4}\\ &=\dfrac{x^2}{4(n+1)(n+\alpha+1)}\\ &\to 0\ \text{as }n\to\infty \end{align}

比は零に収束します。したがってダランベールの収束判定により級数の収束性が無事に証明できました。

熱伝導方程式の 2 次元モデルを解いてみようという流れで、様々な方程式を解いてきましたが、ここでようやく終わりが見えてきました。変数分離解の線型結合がすべての解を網羅するのか確認できれば完了です。あともう少し頑張りましょう。では次回。(written by J.Nishigata)

級数が収束する条件を調べる