AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回、ベッセル方程式の特殊解としてベッセル関数を作りましたが、級数が収束するか否か確認していませんでした。これが今回のテーマです。


収束する級数といえば、どんなものを思い浮かべるでしょうか。

\begin{align}
|\gamma|< 1\Longrightarrow\sum_{n=0}^{\infty}\gamma^n=\dfrac{1}{1-\gamma}
\end{align}

このような等比級数を参考にすることができそうです。すなわち

\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\exists\gamma < 1
\end{align}

という条件が成立しているならば、$\{a_n\}$ の級数は収束するのではないでしょうか。これを確認していきましょう。

\begin{align}
\varepsilon=\dfrac{1-\gamma}{2}
\end{align}

のように $\varepsilon$ を定義して、$1-\varepsilon$ を閾値にして比を評価しましょう。或る $N$ が存在して、任意の $n\ge N$ に対して

\begin{align}
\bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|< 1-\varepsilon
\end{align}

が成り立ちます。この評価式から直ちに

\begin{align}
|a_{n+N}|< (1-\varepsilon)^n|a_N|,\ n=0,1,\ldots
\end{align}

が得られます。$N$ 番以降の絶対値の総和は等比級数で評価されて収束することが分ります。0 から $N-1$ 番までの総和は当然のことながら確定値ですので、結局 $\{a_n\}$ の級数は「絶対収束」します。


絶対収束というものは、絶対値の級数(級数の絶対値ではありません)が収束するという、通常の級数の収束よりも強い特徴を意味します。すなわち、級数が絶対収束するならば級数は収束する、と言えます。(証明は省きますが、やってみてくださいね)


以上のような収束判定法をダランベールの収束判定と呼びます。早速、ベッセル関数を作ったときの級数に適応してみましょう。

\begin{align}
\bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|&=\dfrac{n!\Gamma(n+\alpha+1)}{(n+1)!\Gamma(n+\alpha+2)}\dfrac{x^2}{4}\\
&=\dfrac{x^2}{4(n+1)(n+\alpha+1)}\\
&\to 0\ \text{as }n\to\infty
\end{align}

比は零に収束します。したがってダランベールの収束判定により級数の収束性が無事に証明できました。


熱伝導方程式の 2 次元モデルを解いてみようという流れで、様々な方程式を解いてきましたが、ここでようやく終わりが見えてきました。変数分離解の線型結合がすべての解を網羅するのか確認できれば完了です。あともう少し頑張りましょう。では次回。(written by J.Nishigata)


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級数が収束する条件を調べる

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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ラプラス方程式の一般解を求めるときにフーリエ級数が登場しました。関数 $f$ が以下のようにフーリエ級数で書ける場合、

\begin{align}
f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx}
\end{align}

それぞれの係数は次の性質を用いて簡単に計算できます。

\begin{align}
\int_{-1/2}^{1/2}e^{2\pi ijx}e^{-2\pi ikx}\,dx=\delta_{jk}
\end{align}

$f$ に指数関数を掛けて積分することにより、選択的に係数を取り出すことができます。

\begin{align}
\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{-2\pi ikx}\,dx=c_k
\end{align}

問題はこの逆です。すなわち周期 1 の周期関数 $f$ に対して

\begin{align}
c_j=\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{-2\pi ijx}\,dx
\end{align}

なる数列を定義すると

\begin{align}
f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx}
\end{align}

という等式は、どんなときに成立するでしょうか。$f$ が連続という条件だけで成立してくれたらうれしいですね。実際に右辺を計算して調べてみましょう。$-n$ から $n$ 項目までの計算は

\begin{align}
\sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz}&=\sum_{j=-n}^n\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{2\pi ij(z-x)}\,dx\\
&=f(z)+\int_{-1/2}^{1/2}\{f(z-x)-f(z)\}\sum_{j=-n}^ne^{2\pi ijx}\,dx
\end{align}

指数の級数部分は等比級数なので簡単に計算できますね。

\begin{align}
\sum_{j=-n}^ne^{2\pi ijx}&=e^{-2\pi inx}\dfrac{1-e^{2\pi i(2n+1)x}}{1-e^{2\pi ix}}\\
&=\dfrac{e^{-\pi i(2n+1)x}}{e^{-\pi ix}}\dfrac{1-e^{2\pi i(2n+1)x}}{1-e^{2\pi ix}}\\
&=\dfrac{e^{-\pi i(2n+1)x}-e^{\pi i(2n+1)x}}{e^{-\pi ix}-e^{\pi ix}}\\
&=\dfrac{\sin(2n+1)\pi x}{\sin \pi x}
\end{align}

代入すると

\begin{align}
\sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz}=f(z)+\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx,\ g(x)=\dfrac{f(z-x)-f(z)}{\sin\pi x}
\end{align}

となります。関数 $g$ には連続になってほしいので、 $f$ は微分連続であるとしておきましょう。このとき $g$ は一様連続でもあるので、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta$ が存在して、任意の $|x-y|< \delta$ に対して $|g(x)-g(y)|< \varepsilon$ が成立します。区間 $[-1/2,1/2]$ の $\delta$ よりも細かい細分 $\{x_j\}$ をとると

\begin{align}
&\bigg|\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\
&=\bigg|\sum_j\int_{x_j}^{x_{j+1}}\{g(x)-g(x_j)\}\sin(2n+1)\pi x\,dx+\sum_jg(x_j)\int_{x_j}^{x_{j+1}}\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\
&< \sum_j\int_{x_j}^{x_{j+1}}\varepsilon\,dx+\sum_j\max|g|\bigg|\int_{x_j}^{x_{j+1}}\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\
&\le\varepsilon+\sum_j\max|g|\dfrac{2}{(2n+1)\pi}
\end{align}

という評価が成立します。$n$ を充分大きくとると右辺はさらに上から $2\varepsilon$ で評価できます。$\varepsilon$ の任意性から

\begin{align}
\bigg|\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\to 0\ \text{as }n\to\infty
\end{align}

が成り立ち、無事に目的の式

\begin{align}
f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx}
\end{align}

が得られました。今回はこの辺で終了です。次回はフーリエ級数を拡張していきましょう。(written by J.Nishigata)


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変数分離型の解が張る関数空間の大きさ