AlxisDataBlog-数学・物理学

ラプラス方程式の一般解を求めるときにフーリエ級数が登場しました。関数 $f$ が以下のようにフーリエ級数で書ける場合、

\begin{align} f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx} \end{align}

それぞれの係数は次の性質を用いて簡単に計算できます。

\begin{align} \int_{-1/2}^{1/2}e^{2\pi ijx}e^{-2\pi ikx}\,dx=\delta_{jk} \end{align}

$f$ に指数関数を掛けて積分することにより、選択的に係数を取り出すことができます。

\begin{align} \int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{-2\pi ikx}\,dx=c_k \end{align}

問題はこの逆です。すなわち周期 1 の周期関数 $f$ に対して

\begin{align} c_j=\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{-2\pi ijx}\,dx \end{align}

なる数列を定義すると

\begin{align} f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx} \end{align}

という等式は、どんなときに成立するでしょうか。$f$ が連続という条件だけで成立してくれたらうれしいですね。実際に右辺を計算して調べてみましょう。$-n$ から $n$ 項目までの計算は

\begin{align} \sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz}&=\sum_{j=-n}^n\int_{-1/2}^{1/2}f(x)e^{2\pi ij(z-x)}\,dx\\ &=f(z)+\int_{-1/2}^{1/2}\{f(z-x)-f(z)\}\sum_{j=-n}^ne^{2\pi ijx}\,dx \end{align}

指数の級数部分は等比級数なので簡単に計算できますね。

\begin{align} \sum_{j=-n}^ne^{2\pi ijx}&=e^{-2\pi inx}\dfrac{1-e^{2\pi i(2n+1)x}}{1-e^{2\pi ix}}\\ &=\dfrac{e^{-\pi i(2n+1)x}}{e^{-\pi ix}}\dfrac{1-e^{2\pi i(2n+1)x}}{1-e^{2\pi ix}}\\ &=\dfrac{e^{-\pi i(2n+1)x}-e^{\pi i(2n+1)x}}{e^{-\pi ix}-e^{\pi ix}}\\ &=\dfrac{\sin(2n+1)\pi x}{\sin \pi x} \end{align}

代入すると

\begin{align} \sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz}=f(z)+\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx,\ g(x)=\dfrac{f(z-x)-f(z)}{\sin\pi x} \end{align}

となります。関数 $g$ には連続になってほしいので、 $f$ は微分連続であるとしておきましょう。このとき $g$ は一様連続でもあるので、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta$ が存在して、任意の $|x-y|< \delta$ に対して $|g(x)-g(y)|< \varepsilon$ が成立します。区間 $[-1/2,1/2]$ の $\delta$ よりも細かい細分 $\{x_j\}$ をとると

\begin{align} &\bigg|\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\ &=\bigg|\sum_j\int_{x_j}^{x_{j+1}}\{g(x)-g(x_j)\}\sin(2n+1)\pi x\,dx+\sum_jg(x_j)\int_{x_j}^{x_{j+1}}\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\ &< \sum_j\int_{x_j}^{x_{j+1}}\varepsilon\,dx+\sum_j\max|g|\bigg|\int_{x_j}^{x_{j+1}}\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\\ &\le\varepsilon+\sum_j\max|g|\dfrac{2}{(2n+1)\pi} \end{align}

という評価が成立します。$n$ を充分大きくとると右辺はさらに上から $2\varepsilon$ で評価できます。$\varepsilon$ の任意性から

\begin{align} \bigg|\int_{-1/2}^{1/2}g(x)\sin(2n+1)\pi x\,dx\bigg|\to 0\ \text{as }n\to\infty \end{align}

が成り立ち、無事に目的の式

\begin{align} f(x)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}c_je^{2\pi ijx} \end{align}

が得られました。今回はこの辺で終了です。次回はフーリエ級数を拡張していきましょう。(written by J.Nishigata)

フーリエ級数で表現できる関数について