AlxisDataBlog-数学・物理学

前回は微分連続な周期関数のフーリエ級数をやりました。今回はその拡張にあたり、微分連続な関数 $f$ に対して

\begin{align} f_L(x+nL)=f\big|[-L/2,L/2)(x) \end{align}

のように周期関数を作ります。前回と大きく違う点は、周期の継ぎ目で連続とは限らないということです。この点に注意すると

\begin{align} g(x)=\dfrac{f_L(z-x)-f_L(z)}{\sin(\pi x/L)} \end{align}

と定義するのは NG です。$z$ が継ぎ目のとき $f$ の $z$ での右極限と左極限は異なります。これを反映して

\begin{align} g(x)=\dfrac{f_L(z-x)+f_L(z+x)-f_L(z-0)-f_L(z+0)}{\sin(\pi x/L)} \end{align}

と定義しましょう。すると

\begin{align} \sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz/L}&=\dfrac{f_L(z-0)+f_L(z+0)}{2}L+\int_0^{L/2}g(x)\sin\dfrac{(2n+1)\pi x}{L}\,dx\\ &\to\dfrac{f_L(z-0)+f_L(z+0)}{2}L\ \text{as }n\to\infty \end{align}

が得られます。これでフーリエ変換の準備が整いました。$L$ を大きくしていきましょう。

これで終わってしまうといまいちです。フーリエ変換の形が出てくるというアイデア的には良いのですが、厳密性がありません。特に積分可能性に関して全く言及していないため危険です。$f$ の条件は微分連続である以外にどのように条件を追加すべきでしょうか。

$f$ が絶対可積分ならば $f(x)e^{-2πixy}$ も絶対可積分になります。したがって、このときフーリエ変換が定義できます。

\begin{align} \mathscr{F}f(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx \end{align}

同様にして逆フーリエ変換も定義できます。

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}f(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{2\pi ixy}\,dx \end{align}

ここで直ちに

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}=1 \end{align}

とやってしまいがちですが、実はこれは自明ではありません。少し確認してみましょう。

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}f(z)&=\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^ne^{2\pi iyz}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx\bigg\}\,dy\\ &=f(z)\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx+\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(z-x)-f(z)}{\pi x}\sin(2\pi nx)\,dx\\ &=f(z)\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx \end{align}

残ってしまった極限の項は留数定理を使って計算します。$x=re^{i\theta}$ とおくと

\begin{align} r\dfrac{e^{ix}}{x}=e^{-r\sin\theta}e^{ir\cos\theta}e^{-i\theta}\to 0\ \text{as }r\to\infty\ \text{when }r\sin\theta > 0 \end{align}

ですので

\begin{align} \int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx&=\dfrac{1}{\pi i}\infty_{\mathbb{R}}\dfrac{i\sin x}{x}\,dx\\ &=\dfrac{1}{\pi i}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{e^{ix}}{x}\,dx\\ &=\mathrm{Res}(0)=1 \end{align}

のように計算できます。したがって

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}f(z)=f(z) \end{align}

目的の式が証明できました。無事フーリエ変換へ繋がりましたね。次回はフーリエ変換を知っておくと得することの代表例として、畳込みの定理をやります。(written by J.Nishigata)

フーリエ級数からフーリエ変換へ