AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回は微分連続な周期関数のフーリエ級数をやりました。今回はその拡張にあたり、微分連続な関数 $f$ に対して

\begin{align}
f_L(x+nL)=f\big|[-L/2,L/2)(x)
\end{align}

のように周期関数を作ります。前回と大きく違う点は、周期の継ぎ目で連続とは限らないということです。この点に注意すると

\begin{align}
g(x)=\dfrac{f_L(z-x)-f_L(z)}{\sin(\pi x/L)}
\end{align}

と定義するのは NG です。$z$ が継ぎ目のとき $f$ の $z$ での右極限と左極限は異なります。これを反映して

\begin{align}
g(x)=\dfrac{f_L(z-x)+f_L(z+x)-f_L(z-0)-f_L(z+0)}{\sin(\pi x/L)}
\end{align}

と定義しましょう。すると

\begin{align}
\sum_{j=-n}^nc_je^{2\pi ijz/L}&=\dfrac{f_L(z-0)+f_L(z+0)}{2}L+\int_0^{L/2}g(x)\sin\dfrac{(2n+1)\pi x}{L}\,dx\\
&\to\dfrac{f_L(z-0)+f_L(z+0)}{2}L\ \text{as }n\to\infty
\end{align}

が得られます。これでフーリエ変換の準備が整いました。$L$ を大きくしていきましょう。


これで終わってしまうといまいちです。フーリエ変換の形が出てくるというアイデア的には良いのですが、厳密性がありません。特に積分可能性に関して全く言及していないため危険です。$f$ の条件は微分連続である以外にどのように条件を追加すべきでしょうか。


$f$ が絶対可積分ならば $f(x)e^{-2πixy}$ も絶対可積分になります。したがって、このときフーリエ変換が定義できます。

\begin{align}
\mathscr{F}f(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx
\end{align}

同様にして逆フーリエ変換も定義できます。

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}f(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{2\pi ixy}\,dx
\end{align}

ここで直ちに

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}=1
\end{align}

とやってしまいがちですが、実はこれは自明ではありません。少し確認してみましょう。

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}f(z)&=\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^ne^{2\pi iyz}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx\bigg\}\,dy\\
&=f(z)\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx+\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(z-x)-f(z)}{\pi x}\sin(2\pi nx)\,dx\\
&=f(z)\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx
\end{align}

残ってしまった極限の項は留数定理を使って計算します。$x=re^{i\theta}$ とおくと

\begin{align}
r\dfrac{e^{ix}}{x}=e^{-r\sin\theta}e^{ir\cos\theta}e^{-i\theta}\to 0\ \text{as }r\to\infty\ \text{when }r\sin\theta > 0
\end{align}

ですので

\begin{align}
\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\sin(2\pi nx)}{\pi x}\,dx&=\dfrac{1}{\pi i}\infty_{\mathbb{R}}\dfrac{i\sin x}{x}\,dx\\
&=\dfrac{1}{\pi i}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{e^{ix}}{x}\,dx\\
&=\mathrm{Res}(0)=1
\end{align}

のように計算できます。したがって

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}f(z)=f(z)
\end{align}

目的の式が証明できました。無事フーリエ変換へ繋がりましたね。次回はフーリエ変換を知っておくと得することの代表例として、畳込みの定理をやります。(written by J.Nishigata)


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フーリエ級数からフーリエ変換へ

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まず素朴な疑問から。関数は何で測りますか。関数には「エネルギー」と「広がり方(標準偏差)」が定義できます。今回は、関数をエネルギーと標準偏差で測ったとき、フーリエ変換の前後でどのように変化するのか調べたいと思います。

\begin{align}
E_f=\int_{\mathbb{R}}|f|^2\,dx
\end{align}

を自乗可積分な関数 $f$ のエネルギーと呼びます。$f$ のフーリエ像を $F$ とおいて計算すると

\begin{align}
E_f&=\int_{\mathbb{R}}ff^{\ast}\,dx=\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}F(y)e^{2\pi ixy}\,dy\bigg\}f^{\ast}\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}F(y)\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f^{\ast}(x)e^{2\pi ixy}\,dx\bigg\}\,dy=\int_{\mathbb{R}}FF^{\ast}\,dy=E_F
\end{align}

すなわちフーリエ変換の前後でエネルギーは変化しません。これをパーセバルの関係式と呼びます。続いて標準偏差についてですが、説明を分りやすくするために、統計学の言葉で述べてみましょう。


エネルギーは規格化して確率密度の和であると考えます。

\begin{align}
\mu_f=\int_{\mathbb{R}}x|f|^2\,dx,\ \mu_F=\int_{\mathbb{R}}y|F|^2\,dy
\end{align}

は平均位置を意味します。平均位置からのずれの自乗平均は分散です。

\begin{align}
\sigma_f^2=\int_{\mathbb{R}}(x-\mu_f)^2|f|^2\,dx,\ \sigma_F^2=\int_{\mathbb{R}}(y-\mu_F)^2|F|^2\,dy
\end{align}

式を簡単にするために

\begin{align}
f_0=f(x+\mu_f)e^{-2\pi i\mu_F x}
\end{align}

とおくと、平均位置は零になります。また、ずらしただけですので分散は変わりません。最初からこのようにずらしている体で話を進めましょう。


$f$ が微分連続であり且つ無限遠で消えるならば

\begin{align}
\mathscr{F}\partial f=\int_{\mathbb{R}}\partial fe^{-2\pi ixy}\,dx=2\pi iy\int_{\mathbb{R}}fe^{-2\pi ixy}\,dx=2\pi iyF
\end{align}

が成り立ちます。したがって分散は

\begin{align}
4\pi^2\sigma_F^2=\int_{\mathbb{R}}|\mathscr{F}\partial f|^2\,dy=\int_{\mathbb{R}}|\partial f|^2\,dx
\end{align}

と書き換えることができます。これを用いて分散の積を計算すると

\begin{align}
\sigma_f^2\sigma_F^2&=\dfrac{1}{4\pi^2}\int_{\mathbb{R}}x^2|f|^2\,dx\int_{\mathbb{R}}|\partial f|^2\,dx\\
&\ge\dfrac{1}{4\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}xf^{\ast}\partial f\,dx\bigg|^2\\
&\ge\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|2\mathrm{Re}\int_{\mathbb{R}}xf^{\ast}\partial f\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}x(f^{\ast}\partial f+f\partial f^{\ast})\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}x\partial(ff^{\ast})\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}ff^{\ast}\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}
\end{align}

これで標準偏差の関係式が完成しました。

\begin{align}
\sigma_f\sigma_F\ge\dfrac{1}{4\pi}
\end{align}

この関係式は不確定性関係(不確定性原理)と呼ばれています。不確定性原理といえば、量子力学で登場するハイゼンベルグの不確定性原理を思い浮かべるのではないでしょうか。実はこの 2 者は同じ主張となっています。不確定性関係は信号処理や画像処理でも頻繁に使う重要な関係式です。


ちなみに不確定性関係の等号はどんなときに成立するのでしょうか。不等号の評価が 2 箇所存在しています。前者はコーシーの不等式を使っている部分で

\begin{align}
\partial f=Cxf
\end{align}

後者は実部のみを残す計算で

\begin{align}
C\in\mathbb{R}
\end{align}

が等号成立の条件です。これらの条件を満足する関数はガウシアンのみです。今回は、この辺まで。次回は実用上のスペクトルに関して話をします。(written by J.Nishigata)


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フーリエ変換で楽々畳込み積分