AlxisDataBlog-数学・物理学


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連続な自乗可積分関数 $f,g$ に対して

\begin{align}
(f\ast g)(y)=\int_{\mathbb{R}}f(y-x)g(x)\,dx
\end{align}

が定義できます。これを畳込み積分と呼びます。畳込み積分は信号処理や画像処理に頻出する重要な演算です。しかし、ぱっと見、あまり計算したくないですね。すべての $y$ の値に対して積分を実行しなければなりません。これを簡単にするのが今回のテーマの畳込み定理です。


$f,g$ がさらに絶対可積分であれば、フーリエ変換を定義できます。フーリエ変換の積を計算すると

\begin{align}
\mathscr{F}f(z)\mathscr{F}g(z)&=\int_{\mathbb{R}}g(x)e^{-2\pi ixz}\,dx\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-2\pi iyz}\,dy\\
&=\int_{\mathbb{R}}g(x)e^{-2\pi ixz}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f(y-x)e^{-2\pi i(y-x)z}\,dy\bigg\}\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}g(x)f(y-x)e^{-2\pi iyz}\,dy\bigg\}\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}g(x)f(y-x)e^{-2\pi iyz}\,dx\bigg\}\,dy\\
&=\int_{\mathbb{R}}(f\ast g)(y)e^{-2\pi iyz}\,dy
\end{align}

このように、畳込み積分もフーリエ変換可能になり

\begin{align}
\mathscr{F}f(z)\mathscr{F}g(z)=\mathscr{F}(f\ast g)(z)
\end{align}

という等式が成立します。これを畳込みの定理と呼びます。この定理を使うと、畳込み積は、スペクトル空間では簡単な数の積(通常の積)となり、非常にシンプルになります。


信号処理や画像処理で登場する畳込み積分は、必ずと言っていいほどスペクトル空間で実行されます。その根拠は、シンプルになるからではなく計算量が減るからです。フーリエ変換の高速化と畳込み積分の高速化の話題は別の機会に話しましょう。


次回は、実空間とスペクトル空間の対応関係についてお話します。(written by J.Nishigata)


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フーリエ変換で楽々畳込み積分

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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関数 $f$ のスペクトルは

\begin{align}
F(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx
\end{align}

で定義されます。$f$ が実験値の場合、このような積分は可能なのでしょうか。実験では無限個の標本をとることはできません。したがってフーリエ変換に含まれる積分は、有界な範囲 $I$ で打ち切る必要があります。$I$ の内側で 1 、外側で 0 の値をとる関数(窓関数、観測窓などと呼ぶ)を $w$ とおくと、実験データは $f$ ではなく $wf$ になります。


$wf$ のスペクトルを計算してみましょう。

\begin{align}
\mathscr{F}(wf)=W\ast F
\end{align}

畳込み定理の結果、このようになります。知りたい値 $F$ から $W\ast$ 分だけずれてしまっていますね。このように私たちが見ているスペクトルは真の(正しい)スペクトルではなく、推定されたスペクトルであると考えるべきでしょう。なお、この現象は「短時間フーリエ変換の不確定性原理(STFT 不確定性原理)」と呼ばれています。


データを制限するとその周波数はぼやける、ということですね。STFT 不確定性原理に注意しながら、信頼性の高い周波数解析を心がけましょう。


今回はここまで。次回はフーリエ変換の応用例で有名な信号処理の話をします。(written by J.Nishigata)


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フーリエ変換で変わるもの、変わらないもの