AlxisDataBlog-数学・物理学


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関数 $f$ のスペクトルは

\begin{align}
F(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi ixy}\,dx
\end{align}

で定義されます。$f$ が実験値の場合、このような積分は可能なのでしょうか。実験では無限個の標本をとることはできません。したがってフーリエ変換に含まれる積分は、有界な範囲 $I$ で打ち切る必要があります。$I$ の内側で 1 、外側で 0 の値をとる関数(窓関数、観測窓などと呼ぶ)を $w$ とおくと、実験データは $f$ ではなく $wf$ になります。


$wf$ のスペクトルを計算してみましょう。

\begin{align}
\mathscr{F}(wf)=W\ast F
\end{align}

畳込み定理の結果、このようになります。知りたい値 $F$ から $W\ast$ 分だけずれてしまっていますね。このように私たちが見ているスペクトルは真の(正しい)スペクトルではなく、推定されたスペクトルであると考えるべきでしょう。なお、この現象は「短時間フーリエ変換の不確定性原理(STFT 不確定性原理)」と呼ばれています。


データを制限するとその周波数はぼやける、ということですね。STFT 不確定性原理に注意しながら、信頼性の高い周波数解析を心がけましょう。


今回はここまで。次回はフーリエ変換の応用例で有名な信号処理の話をします。(written by J.Nishigata)


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スペクトルに関する理論と現実のギャップ

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いよいよ 3 次元モデルへの挑戦です。1 次元 2 次元の話を前回までやってきましたが、どうだったでしょうか。

\begin{align}
\Delta u=\partial_tu
\end{align}

もうやり方は慣れてきたでしょう。変数分離型 $u=A(x,y,z)B(t)$ の特殊解を代入して整理すると

\begin{align}
\Delta A=-kA,\ \partial B=-kB
\end{align}

ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式を解きましょう、という部分までは 2 次元の場合と同じです。早速、ラプラス方程式に挑みたいところですが、少し先を見据えて準備をしておこうと思います。ラプラシアンの極座標変換のところですね。


今回の極座標は、球面極座標と呼ばれるものです。

\begin{align}
(x,y,z)=r(\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\varphi)
\end{align}

接ベクトル計算すると

\begin{align}
\begin{pmatrix}
\partial_r\\
\partial_{\theta}/(r\sin\varphi)\\
\partial_{\varphi}/r
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\theta\sin\varphi&\sin\theta\sin\varphi&\cos\varphi\\
-\sin\theta&\cos\theta&0\\
\cos\theta\cos\varphi&\sin\theta\cos\varphi&-\sin\varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_x\\
\partial_y\\
\partial_z
\end{pmatrix}
\end{align}

となりますが、右辺の行列は正規直交行列ですので転置行列が逆行列であり

\begin{align}
\begin{pmatrix}
\partial_x\\
\partial_y\\
\partial_z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta&\cos\theta\cos\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi&\cos\theta&\sin\theta\cos\varphi\\
\cos\varphi&0&-\sin\varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_r\\
\partial_{\theta}/(r\sin\varphi)\\
\partial_{\varphi}/r
\end{pmatrix}
\end{align}

のように簡単に変換式が求まります。ここから先の計算は、以前のように 2 階微分を計算してからラプラシアンを求めても良いのですが、もう少し簡単に計算することにしましょう。鬼のような計算をやった記憶がある方も多いかもしれませんが、工夫をすれば案外簡単です。

\begin{align}
\nabla=a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}
\end{align}

とおいて

\begin{align}
\langle\nabla,\nabla\rangle&=\bigg\langle a\partial_r,a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle\\
&\quad+\bigg\langle \dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta},a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle\\
&\quad+\bigg\langle \dfrac{c}{r}\partial_{\varphi},a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle
\end{align}

のようにベクトルで計算すると簡単です。展開しながら $a,b,c$ が正規直交であることに注意して

\begin{align}
\partial_r^2+\dfrac{\langle b,\partial_{\theta}a\rangle}{r\sin\varphi}\partial_r+\dfrac{1}{r^2\sin^2\varphi}\partial_{\theta}^2+\dfrac{\langle b,\partial_{\theta}c\rangle}{r^2\sin^2\varphi}\partial_{\varphi}+\dfrac{\langle c,\partial_{\varphi}a\rangle}{r}\partial_r+\dfrac{1}{r^2}\partial_{\varphi}^2
\end{align}

ベクトルの微分の項を計算して

\begin{align}
&\langle b,\partial_{\theta}a\rangle=\sin\varphi,\\
&\langle b,\partial_{\theta}c\rangle=\cos\varphi,\\
&\langle c,\partial_{\varphi}a\rangle=1
\end{align}

代入すればラプラシアンが得られます。

\begin{align}
\Delta=\partial_r^2+\dfrac{2}{r}\partial_r+\dfrac{1}{r^2}\bigg(\dfrac{\partial_{\theta}^2}{\sin^2\varphi}+\partial_{\varphi}^2+\dfrac{\cos\varphi\partial_{\varphi}}{\sin\varphi}\bigg)
\end{align}

ラプラシアンの球面成分は、球面ラプラシアンと呼ばれます。以上の準備で動径方向と球面方向の分離解 $A=C(r)D(\theta,\varphi)$ を代入することができます。

\begin{align}
&r^2\partial^2C+2r\partial C+(kr^2-\alpha)C=0,\\
&\Delta^SD=-\alpha D
\end{align}

どちらの方程式も 2 次元のときとは少し違いますね。今回はここまで。次回は、後者の方程式(球面ラプラシアンの固有方程式)の固有値にあたりをつけるところからやりましょう。(written by J.Nishigata)


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スペクトルで見る信号処理