AlxisDataBlog-数学・物理学


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まず素朴な疑問から。関数は何で測りますか。関数には「エネルギー」と「広がり方(標準偏差)」が定義できます。今回は、関数をエネルギーと標準偏差で測ったとき、フーリエ変換の前後でどのように変化するのか調べたいと思います。

\begin{align}
E_f=\int_{\mathbb{R}}|f|^2\,dx
\end{align}

を自乗可積分な関数 $f$ のエネルギーと呼びます。$f$ のフーリエ像を $F$ とおいて計算すると

\begin{align}
E_f&=\int_{\mathbb{R}}ff^{\ast}\,dx=\int_{\mathbb{R}}\bigg\{\int_{\mathbb{R}}F(y)e^{2\pi ixy}\,dy\bigg\}f^{\ast}\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}F(y)\bigg\{\int_{\mathbb{R}}f^{\ast}(x)e^{2\pi ixy}\,dx\bigg\}\,dy=\int_{\mathbb{R}}FF^{\ast}\,dy=E_F
\end{align}

すなわちフーリエ変換の前後でエネルギーは変化しません。これをパーセバルの関係式と呼びます。続いて標準偏差についてですが、説明を分りやすくするために、統計学の言葉で述べてみましょう。


エネルギーは規格化して確率密度の和であると考えます。

\begin{align}
\mu_f=\int_{\mathbb{R}}x|f|^2\,dx,\ \mu_F=\int_{\mathbb{R}}y|F|^2\,dy
\end{align}

は平均位置を意味します。平均位置からのずれの自乗平均は分散です。

\begin{align}
\sigma_f^2=\int_{\mathbb{R}}(x-\mu_f)^2|f|^2\,dx,\ \sigma_F^2=\int_{\mathbb{R}}(y-\mu_F)^2|F|^2\,dy
\end{align}

式を簡単にするために

\begin{align}
f_0=f(x+\mu_f)e^{-2\pi i\mu_F x}
\end{align}

とおくと、平均位置は零になります。また、ずらしただけですので分散は変わりません。最初からこのようにずらしている体で話を進めましょう。


$f$ が微分連続であり且つ無限遠で消えるならば

\begin{align}
\mathscr{F}\partial f=\int_{\mathbb{R}}\partial fe^{-2\pi ixy}\,dx=2\pi iy\int_{\mathbb{R}}fe^{-2\pi ixy}\,dx=2\pi iyF
\end{align}

が成り立ちます。したがって分散は

\begin{align}
4\pi^2\sigma_F^2=\int_{\mathbb{R}}|\mathscr{F}\partial f|^2\,dy=\int_{\mathbb{R}}|\partial f|^2\,dx
\end{align}

と書き換えることができます。これを用いて分散の積を計算すると

\begin{align}
\sigma_f^2\sigma_F^2&=\dfrac{1}{4\pi^2}\int_{\mathbb{R}}x^2|f|^2\,dx\int_{\mathbb{R}}|\partial f|^2\,dx\\
&\ge\dfrac{1}{4\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}xf^{\ast}\partial f\,dx\bigg|^2\\
&\ge\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|2\mathrm{Re}\int_{\mathbb{R}}xf^{\ast}\partial f\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}x(f^{\ast}\partial f+f\partial f^{\ast})\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}x\partial(ff^{\ast})\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}\bigg|\int_{\mathbb{R}}ff^{\ast}\,dx\bigg|^2\\
&=\dfrac{1}{16\pi^2}
\end{align}

これで標準偏差の関係式が完成しました。

\begin{align}
\sigma_f\sigma_F\ge\dfrac{1}{4\pi}
\end{align}

この関係式は不確定性関係(不確定性原理)と呼ばれています。不確定性原理といえば、量子力学で登場するハイゼンベルグの不確定性原理を思い浮かべるのではないでしょうか。実はこの 2 者は同じ主張となっています。不確定性関係は信号処理や画像処理でも頻繁に使う重要な関係式です。


ちなみに不確定性関係の等号はどんなときに成立するのでしょうか。不等号の評価が 2 箇所存在しています。前者はコーシーの不等式を使っている部分で

\begin{align}
\partial f=Cxf
\end{align}

後者は実部のみを残す計算で

\begin{align}
C\in\mathbb{R}
\end{align}

が等号成立の条件です。これらの条件を満足する関数はガウシアンのみです。今回は、この辺まで。次回は実用上のスペクトルに関して話をします。(written by J.Nishigata)


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フーリエ変換で変わるもの、変わらないもの

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今回はフーリエ変換の応用例として信号処理の話をしていきます。話を簡単にするために、前回説明した STFT 不確定性原理は無視できることにしましょう。


電気信号はあらゆる要因で劣化します。このあたりはモデルをしっかりと作り、理論式を導出しておくべきですが、今回は端折って以下のような畳込み積分型に劣化しているものとします。

\begin{align}
g=k\ast f
\end{align}

関数 $k$ がどのような影響を及ぼしているのかを明確にするためには、スペクトルを調べれば良いです。畳込み定理を使うと

\begin{align}
G=KF
\end{align}

すなわち $k$ の周波数特性分だけ信号の周波数特性が変化しています。必要な周波数帯が決まっている場合は、$k$ の周波数特性がその周波数帯を選択するように設計すれば良いでしょう。例えば平滑化フィルタやガウシアンフィルタはローパスフィルタとして、ラプラシアンフィルタはハイパスフィルタとしてよく使われます。


このような能動的に劣化を使う用途とは別に、出力信号から入力信号を回復させたいことも度々あります。理論的には出力信号のスペクトルを劣化関数 $k$ のスペクトルで割り算すれば入力信号のスペクトルが得られます。正確には、劣化関数のスペクトルの零点の測度が零であれば回復可能です。


ここで理論上と書いた理由は、劣化関数の零点の誤差やスペクトルが消えてしまっているところでは割れないという問題、ノイズの問題など幾つかの問題が、実用上では回復の本質となるからです。


これらの問題の解決策として有名なウィーナーフィルタの話を少しだけしましょう。

\begin{align}
g=k\ast f+n
\end{align}

このようなノイズ $n$ が含まれる場合を考えましょう。$f-w\ast g$ のエネルギーを最小化するフィルタ $w$ をウィーナーフィルタと呼びます。パーセバルの関係式を用いれば、$F-WG$ のエネルギーを最小にするフィルタとも言い換えられます。各周波数ごとに $W$ を設計してみましょう。$G$ にモデルの式を代入すると

\begin{align}
F-WG=(1-WK)F-WN
\end{align}

となります。ノイズと入力信号を互いに相関しない統計量として扱うことにします。パワースペクトルの期待値を計算すると

\begin{align}
\{|K|^2E(|F|^2)+E(|N|^2)\}\bigg|W-\dfrac{K^{\ast}E(|F|^2)}{|K|^2E(|F|^2)+E(|N|^2)}\bigg|^2+\dfrac{E(|F|^2)E(|N|^2)}{|K|^2E(|F|^2)+E(|N|^2)}
\end{align}

となり、これを最小化する $W$ は

\begin{align}
W=\dfrac{K^{\ast}E(|F|^2)}{|K|^2E(|F|^2)+E(|N|^2)}
\end{align}

のように求まります。期待値を実験的に得ることは難しいかもしれませんが、時間平均で近似してしまえばノイズの期待値は得ることができます。入力信号の時間平均は定常的な信号である仮定の下で出力信号の時間平均や出力信号平均とノイズ平均の差で近似してしまいましょう。これでウィーナーフィルタを計算できますね。


この辺りで 2 次元熱伝導方程式から続いていた話は終わりです。次回は、残すところの 3 次元での熱伝導方程式に挑戦してみましょう。(written by J.Nishigata)


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スペクトルに関する理論と現実のギャップ