AlxisDataBlog-数学・物理学


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いよいよ 3 次元モデルへの挑戦です。1 次元 2 次元の話を前回までやってきましたが、どうだったでしょうか。

\begin{align}
\Delta u=\partial_tu
\end{align}

もうやり方は慣れてきたでしょう。変数分離型 $u=A(x,y,z)B(t)$ の特殊解を代入して整理すると

\begin{align}
\Delta A=-kA,\ \partial B=-kB
\end{align}

ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式を解きましょう、という部分までは 2 次元の場合と同じです。早速、ラプラス方程式に挑みたいところですが、少し先を見据えて準備をしておこうと思います。ラプラシアンの極座標変換のところですね。


今回の極座標は、球面極座標と呼ばれるものです。

\begin{align}
(x,y,z)=r(\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\varphi)
\end{align}

接ベクトル計算すると

\begin{align}
\begin{pmatrix}
\partial_r\\
\partial_{\theta}/(r\sin\varphi)\\
\partial_{\varphi}/r
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\theta\sin\varphi&\sin\theta\sin\varphi&\cos\varphi\\
-\sin\theta&\cos\theta&0\\
\cos\theta\cos\varphi&\sin\theta\cos\varphi&-\sin\varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_x\\
\partial_y\\
\partial_z
\end{pmatrix}
\end{align}

となりますが、右辺の行列は正規直交行列ですので転置行列が逆行列であり

\begin{align}
\begin{pmatrix}
\partial_x\\
\partial_y\\
\partial_z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta&\cos\theta\cos\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi&\cos\theta&\sin\theta\cos\varphi\\
\cos\varphi&0&-\sin\varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_r\\
\partial_{\theta}/(r\sin\varphi)\\
\partial_{\varphi}/r
\end{pmatrix}
\end{align}

のように簡単に変換式が求まります。ここから先の計算は、以前のように 2 階微分を計算してからラプラシアンを求めても良いのですが、もう少し簡単に計算することにしましょう。鬼のような計算をやった記憶がある方も多いかもしれませんが、工夫をすれば案外簡単です。

\begin{align}
\nabla=a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}
\end{align}

とおいて

\begin{align}
\langle\nabla,\nabla\rangle&=\bigg\langle a\partial_r,a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle\\
&\quad+\bigg\langle \dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta},a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle\\
&\quad+\bigg\langle \dfrac{c}{r}\partial_{\varphi},a\partial_r+\dfrac{b}{r\sin\varphi}\partial_{\theta}+\dfrac{c}{r}\partial_{\varphi}\bigg\rangle
\end{align}

のようにベクトルで計算すると簡単です。展開しながら $a,b,c$ が正規直交であることに注意して

\begin{align}
\partial_r^2+\dfrac{\langle b,\partial_{\theta}a\rangle}{r\sin\varphi}\partial_r+\dfrac{1}{r^2\sin^2\varphi}\partial_{\theta}^2+\dfrac{\langle b,\partial_{\theta}c\rangle}{r^2\sin^2\varphi}\partial_{\varphi}+\dfrac{\langle c,\partial_{\varphi}a\rangle}{r}\partial_r+\dfrac{1}{r^2}\partial_{\varphi}^2
\end{align}

ベクトルの微分の項を計算して

\begin{align}
&\langle b,\partial_{\theta}a\rangle=\sin\varphi,\\
&\langle b,\partial_{\theta}c\rangle=\cos\varphi,\\
&\langle c,\partial_{\varphi}a\rangle=1
\end{align}

代入すればラプラシアンが得られます。

\begin{align}
\Delta=\partial_r^2+\dfrac{2}{r}\partial_r+\dfrac{1}{r^2}\bigg(\dfrac{\partial_{\theta}^2}{\sin^2\varphi}+\partial_{\varphi}^2+\dfrac{\cos\varphi\partial_{\varphi}}{\sin\varphi}\bigg)
\end{align}

ラプラシアンの球面成分は、球面ラプラシアンと呼ばれます。以上の準備で動径方向と球面方向の分離解 $A=C(r)D(\theta,\varphi)$ を代入することができます。

\begin{align}
&r^2\partial^2C+2r\partial C+(kr^2-\alpha)C=0,\\
&\Delta^SD=-\alpha D
\end{align}

どちらの方程式も 2 次元のときとは少し違いますね。今回はここまで。次回は、後者の方程式(球面ラプラシアンの固有方程式)の固有値にあたりをつけるところからやりましょう。(written by J.Nishigata)


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熱伝導方程式(3 次元モデル)に挑戦

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前回は球面調和関数が球面ラプラシアンの固有関数であることを調べました。この性質は球面調和関数の便利さの理由のひとつなのですが、もう一つ便利な性質として直交性を調べてみたいと思います。


まず考えなければならないことは、「直交とは何か」ということです。数ベクトルを思い出してください。直交とは零ではない 2 つのベクトルの内積が零であることを意味します。今の場合では、まず球面上の関数に対する内積を定義する必要がありそうです。

\begin{align}
\langle f_1,f_2\rangle_2=\int_{S^2}f_1f_2\,dS
\end{align}

数ベクトルの内積の総和計算を積分に置き換えたと考えればしっくりくるでしょう。このような内積を $L_2$ 計量と呼びます。これを用いると、直交とは恒等的に零ではない球面上の関数 $f_1,f_2$ に対して

\begin{align}
\langle f_1,f_2\rangle_2=0
\end{align}

が成立することだと言えます。ここに球面調和関数を代入したらどうなるでしょうか。少しテクニカルなのですが $(f\Delta g-g\Delta f)\,dV$ が完全形式であることを使います。連結領域 $\Omega$ で $f\Delta g-g\Delta f$ を積分すると、ストークスの公式を用いて

\begin{align}
\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV=\int_{\partial\Omega}(f\partial_ng-g\partial_nf)\,dS
\end{align}

が得られます。ここで $n$ は $\partial\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場です。球面調和関数を

\begin{align}
f(x)=\tilde{f}(x/\|x\|),\ g(x)=\tilde{g}(x/\|x\|),\ \tilde{f}\in H^j,\tilde{g}\in H^k
\end{align}

のように零を除く空間全体に拡張して代入すると右辺は消えて

\begin{align}
\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV=0
\end{align}

となります。あとは球面調和関数の性質を使って左辺を計算していけば良いです。まずラプラシアンの球面極座標への変換式を用いて

\begin{align}
f\Delta g-g\Delta f=\dfrac{f\Delta^Sg-g\Delta^Sf}{\|x\|^2}
\end{align}

$f,g$ のそれぞれの固有値を $\lambda_j,\lambda_k$ とおいて、球面ラプラシアンの固有方程式より

\begin{align}
\dfrac{f\Delta^Sg-g\Delta^Sf}{\|x\|^2}=\dfrac{\lambda_k-\lambda_j}{\|x\|^2}fg
\end{align}

と変形します。これを特異点 $x=0$ が除かれた例えば $\Omega=B(2)-B(1)$ ($B(a)$ は半径 $a$ の球体)の場合に代入すると

\begin{align}
\int_{\Omega}(f\Delta g-g\Delta f)\,dV=(\lambda_k-\lambda_j)\langle\tilde{f},\tilde{g}\rangle_2
\end{align}

となります。固有値は $\lambda_j=-j(j+1)$ だったので、$j\neq k$ ならば $\lambda_j\neq\lambda_k$ も成り立ちます。以上より

\begin{align}
j\neq k\Longrightarrow\langle\tilde{f},\tilde{g}\rangle_2=0
\end{align}

直交性が証明できましたね。直交性の証明ついでに、各調和関数空間に正規直交基底をとっておきましょう。

\begin{align}
Y_{jk},Y_{jl}\in H^j,\ \langle Y_{jk},Y_{jl}\rangle_2=\delta_{kl}
\end{align}

球面調和関数空間の直交性と合わせると

\begin{align}
\langle Y_{ij},Y_{kl}\rangle_2=\delta_{ik}\delta_{jl}
\end{align}

というきれいな式になります。直交性の便利なところは直交分解ができるところです。球面調和関数の和で書ける関数はすべて一意的に直交分解できます。

\begin{align}
f=\sum_{j,k}\langle Y_{jk},f\rangle_2Y_{jk}
\end{align}

今回はこの辺まで。次回は調和関数空間の直和空間の大きさを調べていきます。便利なものは広い範囲で使いたいですね。(written by J.Nishigata)


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球面ラプラシアンの固有値と固有空間を調べる