AlxisDataBlog-数学・物理学


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以前調和関数空間の直和空間を調べたときに、$k$ 次の同次多項式の球面への制限は $k,k-2,\ldots$ 次元球面調和関数空間の直和空間に入っていることを示しました。これを用いると $k$ 次までの多項式の球面への制限は $k,k-1,\ldots$ 次元球面調和関数空間の直和空間に入ることが分ります。一方、球面調和関数は同次なものから調和関数を取り出して球面へ制限したものですので、逆の包含関係も成り立ち

\begin{align}
(P^0+P^1+\dots+P^k)\big|S^2=H^0+H^1+\dots+H^k
\end{align}

が得られます。$j\le k$ 次同次多項式の球面への制限は、$\|x\|^2$ を適当な回数掛けることによって k-1 次若しくは k 次になります。したがって左辺を書き換えて

\begin{align}
P^{k-1}\big|S^2+P^k\big|S^2=H^0+H^1+\dots+H^k
\end{align}

とすることができます。互いに素な直和になっていることに注意すると

\begin{align}
\dim P^{k-1}\big|S^2+\dim P^k\big|S^2=\sum_{i=0}^k\dim H^i
\end{align}

更に k をひとつずらして差分をとると

\begin{align}
-\dim P^{k-2}\big|S^2+\dim P^k\big|S^2=\dim H^k
\end{align}

すなわち $k$ 次同次多項式空間の球面への制限の次元がわかれば良いです。これを $d(3,k)$ とおきましょう。関数 $d$ の最初の引数は変数の個数が入ることにします。(今は $x^1,x^2,x^3$ の 3 つ)


1 変数の場合、原点からの距離 1 の点に制限すると定数になります。したがって $d(1,k)=1$ です。$d(n,0)=1$ も自明ですね。


$d(n,k)$ は、変数 $x^1$ が含まれないときの $d(n-1,k)$ と $x^1$ を必ず含むときの $d(n,k-1)$ の合計で $d(n,k)=d(n-1,k)+d(n,k-1)$ に成ります。


以上の漸化式を解けば $d(3,k)$ が求まります。

\begin{align}
d(3,k)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{align}

となりますね。以上より球面調和関数空間の次元は

\begin{align}
\dim H^k=2k+1
\end{align}

のように求まります。今回はここまで。次回は球面調和関数を座標変換(回転)させたらどうなるか調べます。或る程度の普遍性が無いと使い辛いのですがどうなるでしょうか。(written by J.Nishigata)


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球面調和関数空間の次元を求めてみよう

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前回は球面調和関数の回転の話をしました。この性質を使って今回は次の 2 次対称テンソルの性質を調べていきます。

\begin{align}
P(x,y)=\sum_{l=1}^{N_k} Y_{kl}(x)Y_{kl}(y),\ N_k=\dim H^k
\end{align}

$x$ と $y$ をそれぞれ同じだけ回転させても上の式の値は変わらなさそうな雰囲気がありますがどうでしょうか。確かめてみましょう。関数を回転させるということは、相対的に変数を逆回転させることに等価です。したがって回転変換 $R$ に対して

\begin{align}
P(R^{-1}x,R^{-1}y)=\sum_{l=1}^{N_k} RY_{kl}(x)RY_{kl}(y)
\end{align}

と書けます。$k$ 次球面調和関数の回転は $k$ 次球面調和関数ですから、線型結合で

\begin{align}
RY_{kl}=\sum_{i=1}^{N_k}r_{li}Y_{ki}
\end{align}

と書いておくことにしましょう。この表現行列は

\begin{align}
\delta_{lm}&=\langle Y_{kl},Y_{km}\rangle_2=\langle RY_{kl},RY_{km}\rangle_2\\
&=\sum_{i,j=1}^{N_k}r_{li}r_{mj}\langle Y_{ki},Y_{kj}\rangle_2\\
&=\sum_{i,j=1}^{N_k}r_{li}r_{mj}\delta_{ij}\\
&=\sum_{i=1}^{N_k}r_{li}r_{mi}
\end{align}

より正規直交行列ですね。したがって行列の掛け算の順序を変えた

\begin{align}
\sum_{l=1}^{N_k} r_{li}r_{lj}=\delta_{ij}
\end{align}

も成立します。これを使うと

\begin{align}
P(R^{-1}x,R^{-1}y)&=\sum_{i,j,l=1}^{N_k} r_{li}r_{lj}Y_{ki}(x)Y_{kj}(y)\\
&=\sum_{i,j=1}^{N_k} \delta_{ij}Y_{ki}(x)Y_{kj}(y)\\
&=\sum_{i=1}^{N_k}Y_{ki}(x)Y_{ki}(y)=P(x,y)
\end{align}

関数 $P$ は回転に依存しないことが分りました。回転に依存しないということは、$P$ の値は $x$ と $y$ の内積だけの関数になることがわかります。

\begin{align}
P(x,y)=Q(\langle x,y\rangle)
\end{align}

$P$ は変数 $x$ に関して $k$ 次の球面調和関数ですが、この性質を $Q$ はどのようにしてもつのでしょうか。変数 $x$ に関する球面ラプラシアンを掛けてみましょう。左辺は簡単に

\begin{align}
\Delta_x^SP=\lambda_k P
\end{align}

となります。一方、右辺は球面極座標を使って計算すると

\begin{align}
&\bigg(\dfrac{\partial_{\theta}^2}{\sin^2\varphi}+\partial_{\varphi}^2+\dfrac{\cos\varphi\partial_{\varphi}}{\sin\varphi}\bigg)Q(y^1\cos\theta\sin\varphi+y^2\sin\theta\sin\varphi+y^3\cos\varphi)\\
&=\{1-\langle x,y\rangle^2\}\partial^2Q-2\langle x,y\rangle\partial Q
\end{align}

すなわち $Q$ は

\begin{align}
\lambda_kQ=(1-t^2)\partial^2Q-2t\partial Q
\end{align}

の解になっていることが分ります。この方程式にはルジャンドル方程式という名前が付いています。球面調和関数の性質がルジャンドル方程式という形で引き継がれているわけですね。


今回はここまで。次回はルジャンドル方程式に挑戦してみましょう。(written by J.Nishigata)


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球面調和関数を回転させたらどうなるだろうか