AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回はルジャンドル多項式と球面調和関数の関係を調べました。球面調和関数空間には直交性が成り立ちますので、ルジャンドル多項式も同様の性質をもつのではないかと期待できます。


ルジャンドル多項式の積を考えましょう。

\begin{align}
P_j(\langle x,y\rangle)P_k(\langle x,y\rangle)=\dfrac{16\pi^2}{N_jN_k}\sum_{l=1}^{N_j} Y_{jl}(x)Y_{jl}(y)\sum_{l=1}^{N_k} Y_{kl}(x)Y_{kl}(y)
\end{align}

変数 $x$ に間して球面上で積分を計算してみましょう。すると右辺は $j\neq k$ のとき球面調和関数の直交性より零、$j=k$ のとき

\begin{align}
\dfrac{16\pi^2}{N_k^2}\sum_{l=1}^{N_k} Y_{kl}(y)^2=\dfrac{4\pi}{N_k}
\end{align}

一方、左辺は $y=(0,0,1)$ とおいて球面極座標で計算すると

\begin{align}
2\pi\int_0^{\pi}P_j(\cos\varphi)P_k(\cos\varphi)\sin\varphi\,d\varphi=2\pi\int_{-1}^1P_j(t)P_k(t)\,dt
\end{align}

となります。結果をまとめると

\begin{align}
\int_{-1}^1P_j(t)P_k(t)\,dt=\dfrac{2}{N_k}\delta_{jk}
\end{align}

直交性が得られました。球面調和関数から続く文脈で計算すると極めて簡単なことですね。ちなみに、この文脈なしでいきなりルジャンドル多項式を定義して直交性を証明することは意外と面倒です。興味のある方はロドリゲスの公式を調べてみると良いでしょう。


今回はここまで。一旦これで球面調和関数の話題を終了したいのですが、最後に役立つ話をしてみたいと思います。では次回。(written by J.Nishigata)


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ルジャンドル多項式の直交性を調べよう

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今回から光学の話をやっていきます。ところでそもそも光とは何なのでしょうか。ちゃんと考えたことはあるでしょうか。


或る人は電磁波の一種であると言ったり、また或る人は光子という素粒子であると言ったり様々かと思います。ですが、皆さんが思い描く「光」は自ら考えたものではないはずです。大学の講義、教科書、インターネットなどで得た「他人の知識」であることが大多数でしょう。


歴史に学ぶことは重要ですが、結果だけを鵜呑みにすることは非常に危険です。正しく歴史を読み解くには、バックグラウンドやロジックが不可欠です。というわけで、かなり古典の話から進めていこうと思います。


スタート地点は何かというと、光を認知することからですね。太陽、物体、影の相関から何らかのものが太陽から降り注いでいるとイメージすることは極自然でしょう。しかし、その降り注いでいるものを捕まえようとしても無理ですね。


太陽と影の話は「実験データ」と考えましょう。一方、降り注ぐものは採取できる話は「常識」と考えましょう。今の状況は実験データが常識に違反しているというわけです。


常識に反する実験データが得られたときの対処法は、実験を説明するための仮説を立てることです。物理学の一般的な手法なので覚えておくと良いでしょう。「光とは何か」を知るためには、光の正体に関する仮説を立てざるを得ない実験データを体験することが重要です。


少し違和感があるかもしれませんが、新しい仮説は常識に反していてもかまいません。こんなことを書くと皆それぞれが好き勝手に仮説を挙げそうなものですが、実際に定着する仮説は「還元的」「定量的」「再現性」である必要があります。数十年前までは「普遍的」という条件もありましたが、トーマス クーンにより科学史の解釈方法が一変してからは除外されました。


光を初めて認知した昔の人(アルキメデスやユークリッド)が考えた仮説は「光は直進する光線である」というものでした。平行線公理などの初等幾何学の理解が原点のような気もしますが、絵画表現に使われる後光が差す様子を想像してみても直感的にも正しそうな雰囲気があります。


このような仮説に紐づく光学は「幾何光学(フェルマー光学)」と呼ばれています。その真価である「還元的」「定量的」「再現性」を見ていきたいですね。


今回はここまで。次回は幾何光学の公理を説明して、あらゆる現象が定量的に説明できる様を見ていこうと思います。(written by J.Nishigata)


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球面調和関数版の畳込みの定理で積分変換を楽にする