AlxisDataBlog-数学・物理学


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  }
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以前、畳込みの定理をやりましたね。覚えていますでしょうか。

\begin{align}
\mathscr{F}(K\ast f)=\mathscr{F}K\mathscr{F}f
\end{align}

畳込み積分がスペクトル空間では単純な掛け算になる、というものでした。今回は、この定理の球面調和関数版をやります。


まず、畳込み積分の定義ですが

\begin{align}
(K\ast f)(y)=\int_{\mathbb{R}}K(y-x)f(x)\,dx
\end{align}

元の定義の $y-x$ の部分を内積に変更します。

\begin{align}
\mathscr{K}f(y)=\int_{S^2}K(\langle x,y\rangle)f(x)\,dS
\end{align}

では早速それぞれの関数を球面調和関数で書いていきましょう。$K$ をルジャンドル多項式で直交分解すると

\begin{align}
K(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{N_k}{2}P_k(t)\int_{-1}^1KP_k\,dt
\end{align}

更にルジャンドル多項式を球面調和関数の 2 次対称テンソルで書き換えて

\begin{align}
K(\langle x,y\rangle)=2\pi\sum_{k=0}^{\infty}\int_{-1}^1KP_k\,dt\sum_{l=1}^{N_k}Y_{kl}(x)Y_{kl}(y)
\end{align}

一方、$f$ はフーリエ級数で

\begin{align}
f=\sum_{k=0}^{\infty}f_k,\ f_k\in H^k
\end{align}

と書いておきましょう。以上で準備が整いました。畳込みを計算していきましょう。

\begin{align}
\mathscr{K}f&=2\pi\sum_{k=0}^{\infty}\int_{-1}^1KP_k\,dt\sum_{l=1}^{N_k}\langle Y_{kl},f\rangle_2Y_{kl}\\
&=2\pi\sum_{k=0}^{\infty}\int_{-1}^1KP_k\,dtf_k
\end{align}

スペクトルの次数ごとに因子(ファンク-ヘッケの因子と呼ぶことにする)が単純に掛け算で掛かっている様子が分ります。この定理は、ファンク-ヘッケの定理と呼ばれています。畳込みの定理とセットで覚えておくと非常に便利です。


今回はここまで。熱伝導の話題からスタートしたお話はこの辺で一区切りしましょう。登場した幾つもの道具(フーリエ変換など)は、本来の目的である熱伝導に適用するだけでなく、以後のあらゆる科学技術の便利ツールとなるものです。今後もいろんな場面で登場するので理解しておくと良いでしょう。


次回からは話題を一転して光学の説明をしていきます。(written by J.Nishigata)


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球面調和関数版の畳込みの定理で積分変換を楽にする

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  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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まず、公理からスタートしましょう。


「点 $A$ から出発した光が点 $B$ の到達するというモデルで実現する光路は、飛行時間が最短となる場合である。」


非常にシンプルな主張ですね。これはフェルマーの原理と呼ばれています。この手の表現は現代では最小作用の法則と呼ばれています。フェルマーの原理を用いて光の「直進性」「反射」「屈折」を順に説明してみましょう。


均一な空間上では光の速さは一様です。したがって均一な空間上に 2 点 $A,B$ がある場合、「飛行時間が最短」ということは「光路長が最短」であることと等価です。2 点を結ぶ最短の光路は線分です。これで「直進性」を説明できました。


続いて「反射」です。均一な $xy$ 平面を考えて $y=0$ にミラーがあると考えましょう。上半平面にある点 $A=(a_1,a_2)$ から出発した光がミラー上の $C=(c,0)$ で反射して上半平面にある点 $B=(b_1,b_2)$ に到達する、というモデルで考えます。2 点間 $AC,CB$ での光路は、既に示した通り線分になっています。したがって問題なのは点 $C$ の位置ですね。線分 $AC,CB$ の長さの和は

\begin{align}
L=\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}+\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}
\end{align}

です。光の速さを $c_0$ とおくと飛行時間は $L/c_0$ となります。これを変数 $c$ に関して微分してみましょう。

\begin{align}
\dfrac{\partial L}{c_0}=\dfrac{c-a_1}{c_0\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}}+\dfrac{c-b_1}{c_0\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}}
\end{align}

この値が零になることは飛行時間が最短であることの必要条件です。入射角 $\theta_a$ 反射角 $\theta_b$ を用いて書くと

\begin{align}
\dfrac{\partial L}{c_0}=\dfrac{\sin\theta_a-\sin\theta_b}{c_0}=0
\end{align}

すなわち入射角と反射角は等しいことが解ります。


最後に屈折を考えてみましょう。$A=(a_1,a_2),a_2>0,B=(b_1,b_2),b_2<0$ として、$y=0$ で屈折する状況を考えます。$A$ 側の屈折率を $n_a$、$B$ 側の屈折率を $n_b$ としましょう。光の速さは屈折率の依存して変化します。その結果、飛行時間は

\begin{align}
T=\dfrac{n_a\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}+n_b\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}}{c_0}
\end{align}

となります。これを変数 $c$ に関して微分すると、入射角 $\theta_a$ 屈折角 $\theta_b$ として

\begin{align}
\partial T=\dfrac{n_a\sin\theta_a-n_b\sin\theta_b}{c_0}
\end{align}

この値が零になることは飛行時間が最短であることの必要条件ですので、無事屈折の法則を説明できることが解ります。


今回はここまで。次回は今回説明した光の性質を利用して、レンズの話をします。(written by J.Nishigata)


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光とは何か