AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






まず、公理からスタートしましょう。


「点 $A$ から出発した光が点 $B$ の到達するというモデルで実現する光路は、飛行時間が最短となる場合である。」


非常にシンプルな主張ですね。これはフェルマーの原理と呼ばれています。この手の表現は現代では最小作用の法則と呼ばれています。フェルマーの原理を用いて光の「直進性」「反射」「屈折」を順に説明してみましょう。


均一な空間上では光の速さは一様です。したがって均一な空間上に 2 点 $A,B$ がある場合、「飛行時間が最短」ということは「光路長が最短」であることと等価です。2 点を結ぶ最短の光路は線分です。これで「直進性」を説明できました。


続いて「反射」です。均一な $xy$ 平面を考えて $y=0$ にミラーがあると考えましょう。上半平面にある点 $A=(a_1,a_2)$ から出発した光がミラー上の $C=(c,0)$ で反射して上半平面にある点 $B=(b_1,b_2)$ に到達する、というモデルで考えます。2 点間 $AC,CB$ での光路は、既に示した通り線分になっています。したがって問題なのは点 $C$ の位置ですね。線分 $AC,CB$ の長さの和は

\begin{align}
L=\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}+\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}
\end{align}

です。光の速さを $c_0$ とおくと飛行時間は $L/c_0$ となります。これを変数 $c$ に関して微分してみましょう。

\begin{align}
\dfrac{\partial L}{c_0}=\dfrac{c-a_1}{c_0\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}}+\dfrac{c-b_1}{c_0\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}}
\end{align}

この値が零になることは飛行時間が最短であることの必要条件です。入射角 $\theta_a$ 反射角 $\theta_b$ を用いて書くと

\begin{align}
\dfrac{\partial L}{c_0}=\dfrac{\sin\theta_a-\sin\theta_b}{c_0}=0
\end{align}

すなわち入射角と反射角は等しいことが解ります。


最後に屈折を考えてみましょう。$A=(a_1,a_2),a_2>0,B=(b_1,b_2),b_2<0$ として、$y=0$ で屈折する状況を考えます。$A$ 側の屈折率を $n_a$、$B$ 側の屈折率を $n_b$ としましょう。光の速さは屈折率の依存して変化します。その結果、飛行時間は

\begin{align}
T=\dfrac{n_a\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}+n_b\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}}{c_0}
\end{align}

となります。これを変数 $c$ に関して微分すると、入射角 $\theta_a$ 屈折角 $\theta_b$ として

\begin{align}
\partial T=\dfrac{n_a\sin\theta_a-n_b\sin\theta_b}{c_0}
\end{align}

この値が零になることは飛行時間が最短であることの必要条件ですので、無事屈折の法則を説明できることが解ります。


今回はここまで。次回は今回説明した光の性質を利用して、レンズの話をします。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

光の直進性・反射・屈折を幾何光学で説明しよう

AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回はフェルマーの原理を用いてレンズの動作の話をしました。$A=(0,a),a > f_0$ にある点光源はレンズの公式

\begin{align}
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f_0}
\end{align}

で決まる $B=(0,-b)$ で結像します。今回調べるのは、結像の状態に若干の遊びをもたせたとき、どのくらいの $a$ の範囲で結像していると見做せるのかという問題です。


結像した点光源は「点」ですが、結像位置からズレると点ではなく円板(錯乱円という)になります。結像の状態に遊びを設けるということは、錯乱円の半径に閾値 $\delta_0$ を設定して、閾値未満の円板を点とみなすということです。この閾値の円板を許容錯乱円と呼びます。


錯乱円を結像位置の遊びに換算しましょう。開口径を $R$ とおくと

\begin{align}
\dfrac{R}{R+\delta_0}b < \tilde{b} < \dfrac{R}{R-\delta_0}b
\end{align}

の範囲で結像していても $B$ の位置での像は許容錯乱円以内に収まります。続いてこれを $a$ の遊びに換算します。

\begin{align}
\dfrac{Rbf_0}{Rb-Rf_0+\delta_0f_0} < \tilde{a} < \dfrac{Rbf_0}{Rb-Rf_0-\delta_0f_0}
\end{align}

この範囲にある点光源は $B$ の位置で結像していると見做せます。$a$ の遊びのボリューム

\begin{align}
\dfrac{Rbf_0}{Rb-Rf_0-\delta_0f_0}-\dfrac{Rbf_0}{Rb-Rf_0+\delta_0f_0}=\dfrac{2f_0^2Rb\delta_0}{(Rb-f_0R)^2-(f_0\delta_0)^2}
\end{align}

のことを被写界深度と呼びます。被写界深度を $R$ の関数として考えてみましょう。概形だけ見ると

\begin{align}
\dfrac{R}{R^2-R_0^2}
\end{align}

これを微分してみると

\begin{align}
-\dfrac{R^2+R_0^2}{(R^2-R_0^2)^2} < 0
\end{align}

すなわち傾きは常に負です。したがって $R > R_0$ の領域で単調減少となることが解ります。今の場合は

\begin{align}
R > \dfrac{f_0\delta_0}{b-f_0}
\end{align}

です。開口径を大きくする程、被写界深度は狭くなります。パンフォーカス撮影で開口を絞る理由が解りましたね。


もう一つ、被写界深度はどのくらい広くできるのか調べてみたいと思います。これは簡単で、被写界深度の式の分母を零とするのが必要条件です。

\begin{align}
R = \dfrac{f_0\delta_0}{b-f_0}
\end{align}

よく使う形に書き換えると

\begin{align}
b=\dfrac{f_0\delta_0}{R}+f_0
\end{align}

このように焦点距離から少し遠ざけて $B$ を設定すると被写界深度は無限になります。なお、このときの焦点の合う $a$ の範囲は

\begin{align}
\tilde{a} > \dfrac{f_0\delta_0+Rf_0}{2\delta_0}
\end{align}

となります。許容錯乱円が開口に比べて充分小さいと仮定すると

\begin{align}
\tilde{a} > \dfrac{f_0\delta_0+Rf_0}{2\delta_0}\approx\dfrac{Rf_0}{2\delta_0}
\end{align}

更に(後の方で登場しますが)許容錯乱円の半径をレイリー限界に設定すると

\begin{align}
\dfrac{Rf_0}{2\delta_0}=\dfrac{R^2}{1.22\lambda}
\end{align}

と書くこともできます。今回はここまで。幾何光学の話は一旦クローズします。光学関連の仕事にとって幾何光学は、光学系の設計などによく用いる最低限のツールだと思いますので、使いこなせるようになっておきたいですね。次回は、光のパラダイムに大きな影響を与えたホイヘンスの話をします。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

幾何光学で説明するレンズの話