AlxisDataBlog-数学・物理学


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今回から光学の話をやっていきます。ところでそもそも光とは何なのでしょうか。ちゃんと考えたことはあるでしょうか。


或る人は電磁波の一種であると言ったり、また或る人は光子という素粒子であると言ったり様々かと思います。ですが、皆さんが思い描く「光」は自ら考えたものではないはずです。大学の講義、教科書、インターネットなどで得た「他人の知識」であることが大多数でしょう。


歴史に学ぶことは重要ですが、結果だけを鵜呑みにすることは非常に危険です。正しく歴史を読み解くには、バックグラウンドやロジックが不可欠です。というわけで、かなり古典の話から進めていこうと思います。


スタート地点は何かというと、光を認知することからですね。太陽、物体、影の相関から何らかのものが太陽から降り注いでいるとイメージすることは極自然でしょう。しかし、その降り注いでいるものを捕まえようとしても無理ですね。


太陽と影の話は「実験データ」と考えましょう。一方、降り注ぐものは採取できる話は「常識」と考えましょう。今の状況は実験データが常識に違反しているというわけです。


常識に反する実験データが得られたときの対処法は、実験を説明するための仮説を立てることです。物理学の一般的な手法なので覚えておくと良いでしょう。「光とは何か」を知るためには、光の正体に関する仮説を立てざるを得ない実験データを体験することが重要です。


少し違和感があるかもしれませんが、新しい仮説は常識に反していてもかまいません。こんなことを書くと皆それぞれが好き勝手に仮説を挙げそうなものですが、実際に定着する仮説は「還元的」「定量的」「再現性」である必要があります。数十年前までは「普遍的」という条件もありましたが、トーマス クーンにより科学史の解釈方法が一変してからは除外されました。


光を初めて認知した昔の人(アルキメデスやユークリッド)が考えた仮説は「光は直進する光線である」というものでした。平行線公理などの初等幾何学の理解が原点のような気もしますが、絵画表現に使われる後光が差す様子を想像してみても直感的にも正しそうな雰囲気があります。


このような仮説に紐づく光学は「幾何光学(フェルマー光学)」と呼ばれています。その真価である「還元的」「定量的」「再現性」を見ていきたいですね。


今回はここまで。次回は幾何光学の公理を説明して、あらゆる現象が定量的に説明できる様を見ていこうと思います。(written by J.Nishigata)


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光とは何か

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前回、幾何光学の公理であるフェルマーの原理を用いて、光の直進性、反射、屈折を説明しました。今回はレンズの動作について調べてみたいと思います。


レンズとは屈折現象を用いた、入射する平行光線を 1 点(焦点)に集め、かつ焦点を通る入射光を平行光線へ変換する光学素子です。前者の機能はコンデンサ、後者の機能はコリメータと呼ばれています。


レンズを通過することにより、どのくらい飛行時間が遅延するのか考えてみます。焦点距離 $f_0$ のレンズを原点にレンズ面が $y=0$ となるように設置しましょう。ここに平行光をレンズに垂直に入射させます。平行光は、無限遠にある点光源から得られたものと考えると、レンズ面に到達したときの各平行の光路の飛行時間はすべて等しいことになります。


レンズへの入射位置に応じて $\tau(x)$ の時間遅延が生じるとしましょう。フェルマーの原理を使うと

\begin{align}
\tau(x)+\dfrac{\sqrt{f_0^2+x^2}}{c_0}=\mathrm{const.}(=\tau_0)
\end{align}

が得られます。遅延が分かったので、任意の 2 点間の光路を考えてみましょう。$A=(a_1,a_2),a_2>0,B=(b_1,b_2),b_2<0$ 間の飛行時間を計算すると

\begin{align}
\bigg|\dfrac{x-a_1}{a_2}\bigg|\ll 1,\ \bigg|\dfrac{x-b_1}{b_2}\bigg|\ll 1,\ \bigg|\dfrac{x}{f_0}\bigg|\ll 1
\end{align}

の仮定の下で

\begin{align}
&\dfrac{\sqrt{a_2^2+(x-a_1)^2}+\sqrt{b_2^2+(x-b_1)^2}}{c_0}+\tau_0-\dfrac{\sqrt{f_0^2+x^2}}{c_0}\\
&\approx \dfrac{1}{2c_0}\bigg(\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{b_2}-\dfrac{1}{f_0}\bigg)x^2+\dfrac{1}{c_0}\bigg(-\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}\bigg)x+\dfrac{1}{c_0}\bigg(a_2+\dfrac{a_1^2}{2a_2}-b_2-\dfrac{b_1^2}{2b_2}-f_0\bigg)+\tau_0
\end{align}

この最小値を与える $x$ が、$A,B$ 間の光路で経由するレンズ上の点となっています。一般的に、この飛行時間は $x$ に関する放物線になるのですが、$x^2$ と $x$ の係数が零の場合に限り定数値関数になります。任意のレンズ上の点を通る光路が実現し、すなわち $A$ から発した光は $B$ で結像することが解ります。このとき $x^2$ の係数からはレンズの公式が得られ、$x$ の係数からは倍率が得られます。


今回はここまで。次回は被写界深度の話をします。(written by J.Nishigata)


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光の直進性・反射・屈折を幾何光学で説明しよう