AlxisDataBlog-数学・物理学

まず、公理からスタートしましょう。

「点 $A$ から出発した光が点 $B$ の到達するというモデルで実現する光路は、飛行時間が最短となる場合である。」

非常にシンプルな主張ですね。これはフェルマーの原理と呼ばれています。この手の表現は現代では最小作用の法則と呼ばれています。フェルマーの原理を用いて光の「直進性」「反射」「屈折」を順に説明してみましょう。

均一な空間上では光の速さは一様です。したがって均一な空間上に 2 点 $A,B$ がある場合、「飛行時間が最短」ということは「光路長が最短」であることと等価です。2 点を結ぶ最短の光路は線分です。これで「直進性」を説明できました。

続いて「反射」です。均一な $xy$ 平面を考えて $y=0$ にミラーがあると考えましょう。上半平面にある点 $A=(a_1,a_2)$ から出発した光がミラー上の $C=(c,0)$ で反射して上半平面にある点 $B=(b_1,b_2)$ に到達する、というモデルで考えます。2 点間 $AC,CB$ での光路は、既に示した通り線分になっています。したがって問題なのは点 $C$ の位置ですね。線分 $AC,CB$ の長さの和は

\begin{align} L=\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}+\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2} \end{align}

です。光の速さを $c_0$ とおくと飛行時間は $L/c_0$ となります。これを変数 $c$ に関して微分してみましょう。

\begin{align} \dfrac{\partial L}{c_0}=\dfrac{c-a_1}{c_0\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}}+\dfrac{c-b_1}{c_0\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}} \end{align}

この値が零になることは飛行時間が最短であることの必要条件です。入射角 $\theta_a$ 反射角 $\theta_b$ を用いて書くと

\begin{align} \dfrac{\partial L}{c_0}=\dfrac{\sin\theta_a-\sin\theta_b}{c_0}=0 \end{align}

すなわち入射角と反射角は等しいことが解ります。

最後に屈折を考えてみましょう。$A=(a_1,a_2),a_2>0,B=(b_1,b_2),b_2<0$ として、$y=0$ で屈折する状況を考えます。$A$ 側の屈折率を $n_a$、$B$ 側の屈折率を $n_b$ としましょう。光の速さは屈折率の依存して変化します。その結果、飛行時間は

\begin{align} T=\dfrac{n_a\sqrt{(c-a_1)^2+a_2^2}+n_b\sqrt{(c-b_1)^2+b_2^2}}{c_0} \end{align}

となります。これを変数 $c$ に関して微分すると、入射角 $\theta_a$ 屈折角 $\theta_b$ として

\begin{align} \partial T=\dfrac{n_a\sin\theta_a-n_b\sin\theta_b}{c_0} \end{align}

この値が零になることは飛行時間が最短であることの必要条件ですので、無事屈折の法則を説明できることが解ります。

今回はここまで。次回は今回説明した光の性質を利用して、レンズの話をします。(written by J.Nishigata)

光の直進性・反射・屈折を幾何光学で説明しよう