AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回から引き続き、電場と磁場の性質を調べていきましょう。


今回はファラデーの法則です。まず、モーターを想像してみてください。N 極から S 極へ向かう磁場の中でコイルを回転させると、コイルを貫く磁力線の本数は変化します。この磁力線の時間変化はコイルに起電力を与えます。コイルの成す曲面を $S$ とおいて立式してみましょう。磁束 $B$ と電場 $E$ に関して

\begin{align}
\partial_t\int_{S}\langle B,n\rangle\,dS=-\int_{\partial S}\langle\mathrm{grad}E,dx\rangle
\end{align}

これをファラデーの法則と呼びます。ここで $n$ は $S$ の反転しない単位法線ベクトル場で $\partial S$ には誘導される向きが入っています。右辺にストークスの公式を使います。

\begin{align}
-\int_{\partial S}\langle\mathrm{grad}E,dx\rangle=-\int_S\langle\mathrm{rot}E,n\rangle dS
\end{align}

曲面 $S$ の任意性から微分系の関係式に直すことができます。

\begin{align}
\partial_tB=-\mathrm{rot}E
\end{align}

今回はここまで。結構頻繁にストークスの公式を使います。以前面積ベクトルを実際に計算できるレベルで理解しましょうという話をしましたが、ストークスの公式を使う場面で、本当にストークスの公式のフォーマットになっているのか確認できているのか注意が必要です。ということで、次回は少し話が逸れますが、微分形式の計算例をいくつか取り上げたいと思います。(written by J.Nishigata)


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ファラデーの法則

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今回の話は恐らく電磁気学で最も初めにやることなのではないかと思うクーロン力の話です。位置 $x_0$ にある荷電粒子 $\delta(x-x_0)\rho(x_0)$ の周囲には逆 2 乗則に従う電場が発生します。誘電率を $\varepsilon_0$ として

\begin{align}
\dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{x-x_0}{\|x-x_0\|^3}
\end{align}

これをクーロンの法則と呼びます。これを任意の連結領域 $\Omega$ の境界で積分すると $\partial\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場を $n$ として

\begin{align}
\dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS
\end{align}

となります。この式の微分形式の項は、$X=x-x_0$ とおいて外微分を計算すると

\begin{align}
&d(\|X\|^{-3}\langle X,n\rangle\,dS)\\
&=-3\|X\|^{-5}(X^1\,dX^1+X^2\,dX^2+X^3\,dX^3)\wedge \langle X,n\rangle\,dS+3\|X\|^{-3}\,dV=0
\end{align}

となるので、ストークスの公式より領域 $\Omega$ が特異点 $x=x_0$ を含まないのであれば

\begin{align}
\dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=0
\end{align}

含む場合は特異点の $\varepsilon$ 近傍を除いた $\Omega\setminus U_{\varepsilon}(x_0)$ に置き換えて

\begin{align}
\dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega\cup\partial U_{\varepsilon}(x_0)}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=0
\end{align}

が成立します。後者の場合、積分を領域ごとに分けて移項すると

\begin{align}
\dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=-\dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial U_{\varepsilon}(x_0)}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=\dfrac{\rho(x_0)}{\varepsilon_0}
\end{align}

以上を踏まえて $\partial\Omega$ で積分した式を更に $x_0$ に関して $\mathbb{R}^3$ 全体で積分すると、$\Omega$ の内側だけが残って

\begin{align}
\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_{\Omega}\rho\,dV
\end{align}

が得られます。点電荷の作る電場を $\partial\Omega$ 上で積分してすべての点電荷による重ね合わせを計算したことになるので、電場 $E$ を用いて

\begin{align}
\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_{\Omega}\rho\,dV=\int_{\partial\Omega}\langle E,n\rangle \,dS
\end{align}

これはガウスの定理と呼ばれています。右辺にストークスの公式を使って書き換えると

\begin{align}
\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_{\Omega}\rho\,dV=\int_{\Omega}\mathrm{div}E\,dV
\end{align}

$\Omega$ の任意性より微分系に直しておくと

\begin{align}
\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}=\mathrm{div}E
\end{align}

今回はここまで。次回はビオ サヴァールの法則をやります。(written by J.Nishigata)


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微分形式を計算してみよう