AlxisDataBlog-数学・物理学

今回の話は恐らく電磁気学で最も初めにやることなのではないかと思うクーロン力の話です。位置 $x_0$ にある荷電粒子 $\delta(x-x_0)\rho(x_0)$ の周囲には逆 2 乗則に従う電場が発生します。誘電率を $\varepsilon_0$ として

\begin{align} \dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{x-x_0}{\|x-x_0\|^3} \end{align}

これをクーロンの法則と呼びます。これを任意の連結領域 $\Omega$ の境界で積分すると $\partial\Omega$ の外向き単位法線ベクトル場を $n$ として

\begin{align} \dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS \end{align}

となります。この式の微分形式の項は、$X=x-x_0$ とおいて外微分を計算すると

\begin{align} &d(\|X\|^{-3}\langle X,n\rangle\,dS)\\ &=-3\|X\|^{-5}(X^1\,dX^1+X^2\,dX^2+X^3\,dX^3)\wedge \langle X,n\rangle\,dS+3\|X\|^{-3}\,dV=0 \end{align}

となるので、ストークスの公式より領域 $\Omega$ が特異点 $x=x_0$ を含まないのであれば

\begin{align} \dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=0 \end{align}

含む場合は特異点の $\varepsilon$ 近傍を除いた $\Omega\setminus U_{\varepsilon}(x_0)$ に置き換えて

\begin{align} \dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega\cup\partial U_{\varepsilon}(x_0)}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=0 \end{align}

が成立します。後者の場合、積分を領域ごとに分けて移項すると

\begin{align} \dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial\Omega}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=-\dfrac{\rho(x_0)}{4\pi \varepsilon_0}\int_{\partial U_{\varepsilon}(x_0)}\dfrac{\langle x-x_0,n\rangle}{\|x-x_0\|^3}\,dS=\dfrac{\rho(x_0)}{\varepsilon_0} \end{align}

以上を踏まえて $\partial\Omega$ で積分した式を更に $x_0$ に関して $\mathbb{R}^3$ 全体で積分すると、$\Omega$ の内側だけが残って

\begin{align} \dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_{\Omega}\rho\,dV \end{align}

が得られます。点電荷の作る電場を $\partial\Omega$ 上で積分してすべての点電荷による重ね合わせを計算したことになるので、電場 $E$ を用いて

\begin{align} \dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_{\Omega}\rho\,dV=\int_{\partial\Omega}\langle E,n\rangle \,dS \end{align}

これはガウスの定理と呼ばれています。右辺にストークスの公式を使って書き換えると

\begin{align} \dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_{\Omega}\rho\,dV=\int_{\Omega}\mathrm{div}E\,dV \end{align}

$\Omega$ の任意性より微分系に直しておくと

\begin{align} \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}=\mathrm{div}E \end{align}

今回はここまで。次回はビオサヴァールの法則をやります。(written by J.Nishigata)