AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回までで計 4 本の電磁場に関する方程式が得られました。

\begin{align}
&\mathrm{div}B=0,\\
&\partial_tB=-\mathrm{rot}E,\\
&\varepsilon_0\mathrm{div}E=\rho,\\
&\mathrm{rot}B=\mu_0 j+\varepsilon_0\mu_0\partial_tE
\end{align}

未知な関数は $B,E,\rho,j$ で方程式の本数と整合していますので、これらの方程式で電磁場は完全に記述できます。この方程式系をマクスウェルの方程式と呼びます。さて、まず何をやるかというと、2 式と 4 式の $B,E$ を分離しましょう。


2 式を時間微分 4 式に $\mathrm{rot}$ を掛けて電場を消去すると

\begin{align}
\mathrm{rot}\,\mathrm{rot}B+\varepsilon_0\mu_0\partial_t^2B=\mu_0\mathrm{rot}j
\end{align}

逆に 2 式に $\mathrm{rot}$ を掛け 4 式を時間微分して磁束を消去すると

\begin{align}
\mathrm{rot}\,\mathrm{rot}E+\varepsilon_0\mu_0\partial_t^2E=-\mu_0\partial_tj
\end{align}

分離できましたね。左辺の $\mathrm{rot}\,\mathrm{rot}$ の計算が厄介そうな雰囲気がありますが、例えば第 1 成分だけ入った関数で計算すると

\begin{align}
\mathrm{rot}\,\mathrm{rot}
\begin{pmatrix}
a\\
0\\
0
\end{pmatrix}&=\mathrm{rot}
\begin{pmatrix}
0\\
\partial_3a\\
-\partial_2a
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-\partial_2^2a-\partial_3^2a\\
\partial_1\partial_2a\\
\partial_1\partial_3a
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\partial_1\partial_1a\\
\partial_1\partial_2a\\
\partial_1\partial_3a
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
\Delta a\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\end{align}

となることから分かるように $\mathrm{rot}\,\mathrm{rot}=\mathrm{grad}\,\mathrm{div}-\Delta$ であり 1 式と 3 式が使えます。

\begin{align}
&-\Delta B+\varepsilon_0\mu_0\partial_t^2B=\mu_0\mathrm{rot}j\\
&\dfrac{1}{\varepsilon_0}\mathrm{grad}\rho-\Delta E+\varepsilon_0\mu_0\partial_t^2E=-\mu_0\partial_tj
\end{align}

これらを $B,E$ の微分方程式としてみると、斉次微分方程式を考えるべきでしょう。

\begin{align}
&-\Delta B+\varepsilon_0\mu_0\partial_t^2B=0\\
&-\Delta E+\varepsilon_0\mu_0\partial_t^2E=0
\end{align}

全く同じ方程式が得られました。これを波動方程式と呼びます。真空中では電子が存在しないため電荷密度と電流密度は共に零ですので、この斉次方程式は真空の場合のマクスウェル方程式から得られると考えてもよいでしょう。今回はここまで。次回は波動方程式の定常解を調べていきます。(written by J.Nishigata)


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マクスウェル方程式と波動方程式

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前回は定常状態の波動方程式を解きました。今回は、この解の中で球面対称な特殊解を調べたいと思います。


球面方向は球面調和関数で記述されていますが、特に球面対称な関数は $H^0$ の定数値関数だけです。したがって球面対称な解は

\begin{align}
u=c_{01}j_0+d_{01}j_{-1}
\end{align}

という形になります。少し分り難いですね。別のもっと分り易い解の表現は無いのでしょうか。球面ベッセル方程式をもう一度考えてみましょう。

\begin{align}
r^2\partial^2v+2r\partial v+\dfrac{\omega^2}{c^2}r^2v=0
\end{align}

ヘルムホルツ方程式の球面方向が零次の場合を考えればよいので簡単に書けます。$\tilde{v}=rv$ と置き換えてみましょう。

\begin{align}
v=\dfrac{\tilde{v}}{r},\ \partial v=\dfrac{\partial\tilde{v}}{r}-\dfrac{\tilde{v}}{r^2},\ \partial^2v=\dfrac{\partial^2\tilde{v}}{r}-2\dfrac{\partial\tilde{v}}{r^2}+2\dfrac{\tilde{v}}{r^3}
\end{align}

を球面ベッセル方程式に代入すると

\begin{align}
\partial^2\tilde{v}+\dfrac{\omega^2}{c^2}\tilde{v}=0
\end{align}

この方程式の解は簡単に求まりますね。以上より今考えている球面ベッセル方程式の独立する特殊解は

\begin{align}
v=\dfrac{e^{\pm i\omega r/c}}{r}
\end{align}

となります。 $j_0,j_{-1}$ よりもこちらの表現の方が簡単ですね。気になる人は 2 つの表現間が線型変換で書けるのか確認してみてはどうでしょうか。


今回はここまで。次回はキルヒホッフの積分定理をやります。(written by J.Nishigata)


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定常状態の波動方程式を解いてみよう