AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回、波動方程式を導出しました。

\begin{align}
\Delta f=\dfrac{1}{c^2}\partial_t^2f
\end{align}

この方程式の解には例えば $f=f_0(\langle k,x\rangle-\omega t),\omega/\|k\|=c$ 等があります。これは平面波と呼ばれる解ですが、等位相面を見てみると

\begin{align}
\langle k,x\rangle-\omega t=\mathrm{const.}\Longrightarrow\langle k/\|k\|,\partial_t x\rangle=c
\end{align}

すなわち $k$ 方向に速さ $c$ で伝搬する様子が理解できます。波動方程式はこのような伝搬する波のイメージをもちます。では早速波動方程式を解いていきましょう。方針は以前扱った熱伝導方程式と同様です。位置と時間の分離解 $f=u(x)T(t)$ を代入してみましょう。

\begin{align}
&\Delta u=\dfrac{a}{c^2}u,\\
&\partial_t^2T=aT
\end{align}

時間の方程式に着目すると、$a < 0$ の場合は単振動、$a=0$ の場合は $T=1,t$、$a > 0$ の場合は $T=e^{\pm\sqrt{a}t}$ という特殊解が得られます。この中で $T=t,e^{\sqrt{a}t}$ は時間発散してしまうため、物理学的には実現しません。


$a$ で分類される解の中で今回取り扱うものは $a < 0$ の場合です。$\omega=\sqrt{-a}$ とおきましょう。


このときの波動方程式の特殊解は位置を固定して様子を観察すると、一定の振幅で単振動をしているだけで安定しているように見えます。この特殊解を定常波、そのときの位置の方程式を定常状態の波動方程式と呼びます。


定常状態の波動方程式はヘルムホルツ方程式です。以前解いたことを覚えていますか。球面ベッセル関数を $j_k$、球面ノイマン関数を $n_k$、球面調和関数を $Y_{kl}$ とおくと

\begin{align}
u=\sum\{c_{kl}j_k(\omega \|x\|/c)+d_{kl}n_k(\omega \|x\|/c)\}Y_{kl}(x/\|x\|)
\end{align}

が一般解でしたね。$k$ は整数なので $j_k$ と $j_{-k-1}$ は同一の球面ベッセル方程式の独立する 2 解になっています。これを考慮して、改めて

\begin{align}
u=\sum\{c_{kl}j_k(\omega \|x\|/c)+d_{kl}j_{-k-1}(\omega \|x\|/c)\}Y_{kl}(x/\|x\|)
\end{align}

と書いておいた方が分り易いでしょう。今回はここまで。次回は定常状態の波動方程式の最も基本的である特殊解「球面波」の話をします。(written by J.Nishigata)


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定常状態の波動方程式を解いてみよう

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前回、球面波を求めました。今回はこれを使ってキルヒホッフの積分定理を説明します。


定常状態の波動方程式

\begin{align}
\Delta f=-\dfrac{\omega^2}{c^2}f
\end{align}

の任意の $2$ つの解を $u,v$ とおきます。すると当然ですが $u\Delta v-v\Delta u=0$ が成立しますね。任意の連結領域 $\Omega$ に対して

\begin{align}
\int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\,dV=0
\end{align}

この式は球面調和関数空間の直交性の証明でも登場しました。$\Omega$ の内部に $u\Delta v-v\Delta u$ が特異点をもたないならば、ストークスの公式より

\begin{align}
\int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\,dV=\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS
\end{align}

が成立します。ここでクーロンの法則のときと同じようなことをやります。$\Omega$ の内部の任意の点 $X$ を中心とする球面波を $v$ に代入すると $u\Delta v-v\Delta u$ は $x=X$ が特異点となってしまうため $X$ の近傍 $U_{\varepsilon}(X)$ を除外する必要があります。

\begin{align}
\int_{\Omega\setminus U_{\varepsilon}(X)}(u\Delta v-v\Delta u)\,dV=0
\end{align}

このようにするとストークスの公式が使えて

\begin{align}
\int_{\partial\Omega\cup \partial U_{\varepsilon}(X)}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS=0
\end{align}

境界 $\partial\Omega$ と $\partial U_{\varepsilon}(x)$ を分離して移項すると

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS=-\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS
\end{align}

右辺に球面波を代入して計算してみましょう。

\begin{align}
v=\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon},\ \partial_nv=-\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}
\end{align}

を代入すれば

\begin{align}
&\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}\bigg\{u\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}+\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon}\partial_nu\bigg\}\,dS\\
&=\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS+\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}\langle \nabla u,n\rangle\,dS\\
&=\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS+\dfrac{e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{U_{\varepsilon}(X)}\Delta u\,dV\\
&=\bigg(-\dfrac{1}{\varepsilon}\pm\dfrac{i\omega}{c}\bigg)\dfrac{e^{\pm i\omega\varepsilon/c}}{\varepsilon}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS-\dfrac{\omega^2e^{\pm i\omega \varepsilon/c}}{c^2\varepsilon}\int_{U_{\varepsilon}(X)}u\,dV
\end{align}

この積分の項は $\varepsilon\to 0$ の極限で

\begin{align}
\dfrac{1}{\varepsilon^2}\int_{\partial U_{\varepsilon}(X)}u\,dS\to 4\pi u(X),\ \dfrac{1}{\varepsilon^3}\int_{U_{\varepsilon}(X)}u\,dV\to \dfrac{4\pi}{3}\Delta u(X)
\end{align}

となります。この極限の値を使えば

\begin{align}
\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS=-4\pi u(X)
\end{align}

という簡潔な式が得られます。これをキルヒホッフの積分定理と呼びます。$\Omega$ の内部の任意の点での振幅 $u(X)$ を得るためには $\partial\Omega$ での $u,\partial_nu$ (境界条件と言う)が分かっていれば良いわけです。波動が伝搬する途中経過を見なくて済むので便利ですね。


今回はここまで。次回はキルヒホッフの積分定理をホイヘンスの原理で解釈してみます。(written by J.Nishigata)


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球面波を求めてみよう