AlxisDataBlog-数学・物理学

前回は定常状態の波動方程式を解きました。今回は、この解の中で球面対称な特殊解を調べたいと思います。

球面方向は球面調和関数で記述されていますが、特に球面対称な関数は $H^0$ の定数値関数だけです。したがって球面対称な解は

\begin{align} u=c_{01}j_0+d_{01}j_{-1} \end{align}

という形になります。少し分り難いですね。別のもっと分り易い解の表現は無いのでしょうか。球面ベッセル方程式をもう一度考えてみましょう。

\begin{align} r^2\partial^2v+2r\partial v+\dfrac{\omega^2}{c^2}r^2v=0 \end{align}

ヘルムホルツ方程式の球面方向が零次の場合を考えればよいので簡単に書けます。$\tilde{v}=rv$ と置き換えてみましょう。

\begin{align} v=\dfrac{\tilde{v}}{r},\ \partial v=\dfrac{\partial\tilde{v}}{r}-\dfrac{\tilde{v}}{r^2},\ \partial^2v=\dfrac{\partial^2\tilde{v}}{r}-2\dfrac{\partial\tilde{v}}{r^2}+2\dfrac{\tilde{v}}{r^3} \end{align}

を球面ベッセル方程式に代入すると

\begin{align} \partial^2\tilde{v}+\dfrac{\omega^2}{c^2}\tilde{v}=0 \end{align}

この方程式の解は簡単に求まりますね。以上より今考えている球面ベッセル方程式の独立する特殊解は

\begin{align} v=\dfrac{e^{\pm i\omega r/c}}{r} \end{align}

となります。 $j_0,j_{-1}$ よりもこちらの表現の方が簡単ですね。気になる人は 2 つの表現間が線型変換で書けるのか確認してみてはどうでしょうか。

今回はここまで。次回はキルヒホッフの積分定理をやります。(written by J.Nishigata)

球面波を求めてみよう