AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回は定常状態の波動方程式を解きました。今回は、この解の中で球面対称な特殊解を調べたいと思います。


球面方向は球面調和関数で記述されていますが、特に球面対称な関数は $H^0$ の定数値関数だけです。したがって球面対称な解は

\begin{align}
u=c_{01}j_0+d_{01}j_{-1}
\end{align}

という形になります。少し分り難いですね。別のもっと分り易い解の表現は無いのでしょうか。球面ベッセル方程式をもう一度考えてみましょう。

\begin{align}
r^2\partial^2v+2r\partial v+\dfrac{\omega^2}{c^2}r^2v=0
\end{align}

ヘルムホルツ方程式の球面方向が零次の場合を考えればよいので簡単に書けます。$\tilde{v}=rv$ と置き換えてみましょう。

\begin{align}
v=\dfrac{\tilde{v}}{r},\ \partial v=\dfrac{\partial\tilde{v}}{r}-\dfrac{\tilde{v}}{r^2},\ \partial^2v=\dfrac{\partial^2\tilde{v}}{r}-2\dfrac{\partial\tilde{v}}{r^2}+2\dfrac{\tilde{v}}{r^3}
\end{align}

を球面ベッセル方程式に代入すると

\begin{align}
\partial^2\tilde{v}+\dfrac{\omega^2}{c^2}\tilde{v}=0
\end{align}

この方程式の解は簡単に求まりますね。以上より今考えている球面ベッセル方程式の独立する特殊解は

\begin{align}
v=\dfrac{e^{\pm i\omega r/c}}{r}
\end{align}

となります。 $j_0,j_{-1}$ よりもこちらの表現の方が簡単ですね。気になる人は 2 つの表現間が線型変換で書けるのか確認してみてはどうでしょうか。


今回はここまで。次回はキルヒホッフの積分定理をやります。(written by J.Nishigata)


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球面波を求めてみよう

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前回はキルヒホッフの積分定理をやりました。

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS
\end{align}

この式は、左辺の $v$ に $X$ を中心とする球面波を代入すると成立しますが、$v$ には

\begin{align}
v=\dfrac{e^{\pm i\omega\|x-X\|/c}}{\|x-X\|}
\end{align}

のように $2$ 通りの代入の仕方があります。今回の話は、物理学的に符号の意味を考えましょう、という内容です。

\begin{align}
\dfrac{e^{i\omega\|x\|/c}}{\|x\|}
\end{align}

は原点を中心とする球面波ですが、時間の方程式 $\partial^2 T=-\omega^2T$ の解を掛ければ時間発展する球面波にすることができます。ここで、独立な 2 解

\begin{align}
\dfrac{e^{i\omega\|x\|/c}}{\|x\|}e^{\pm i\omega t}
\end{align}

の物理学的な意味を考えてみます。$\omega/c$ は波数ですね。$k$ と置きましょう。指数の項をまとめて書くと

\begin{align}
\dfrac{e^{i(k\|x\|\pm\omega t)}}{\|x\|}
\end{align}

となります。この波の等位相面は $k\|x\|\pm\omega t=\mathrm{const.}$ となりますが、この面の伝搬速度は $\partial_t\|x\|=\mp \omega/k=\mp c$ です。ここで物理学的な解釈ですが、球面波は拡散すべき、すなわち伝搬速度は正(外向き)であるべきです。この解釈により時間発展する球面波は一方の

\begin{align}
\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}
\end{align}

に決定します。定常状態のもう一方の球面波に対しても同様に考えると

\begin{align}
\dfrac{e^{\pm i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}
\end{align}

が物理的に正しい伝搬する球面波となります。$\Omega$ は原点を含まないとして、この球面波の一方(正の方)をキルヒホッフの積分定理の $u$ に代入してみましょう。

\begin{align}
4\pi u(X)&=-\int_{\partial\Omega}\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}\pm ik\bigg)\dfrac{e^{\pm i k\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS\\
&\quad +\int_{\partial\Omega}\dfrac{e^{\pm ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\dfrac{\langle n,x\rangle}{\|x\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x\|}+ik\bigg)\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}\,dS\\
&=\int_{\partial\Omega}\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}\dfrac{e^{\pm i k\|x-X\|}}{\|x-X\|}\bigg\{-\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}\pm ik\bigg)+\dfrac{\langle n,x\rangle}{\|x\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x\|}+ik\bigg)\bigg\}\,dS
\end{align}

中括弧の項は補正項と呼ばれています。ちょっと煩雑ですが、重要な部分は補正項ではなく球面波の積の部分です。この部分だけ取り出してみると $x$ での複素振幅

\begin{align}
\dfrac{e^{ik\|x\|}}{\|x\|}
\end{align}

に時間発展する球面波

\begin{align}
\dfrac{e^{\pm ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}e^{-i\omega t}
\end{align}

が掛かっていると読み変えることができます。この球面波が物理学的に整合するためには、複号は正でなけれななりません。同様にですが、 $u$ にもう一方の $e^{-i(k\|x\|-\omega t)}/\|x\|$ を代入した場合は複合は逆の負になります。


今回はここまで。次回はキルヒホッフの回折モデルをやります。(written by J.Nishigata)


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