AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回はキルヒホッフの積分定理をやりました。

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS
\end{align}

この式は、左辺の $v$ に $X$ を中心とする球面波を代入すると成立しますが、$v$ には

\begin{align}
v=\dfrac{e^{\pm i\omega\|x-X\|/c}}{\|x-X\|}
\end{align}

のように $2$ 通りの代入の仕方があります。今回の話は、物理学的に符号の意味を考えましょう、という内容です。

\begin{align}
\dfrac{e^{i\omega\|x\|/c}}{\|x\|}
\end{align}

は原点を中心とする球面波ですが、時間の方程式 $\partial^2 T=-\omega^2T$ の解を掛ければ時間発展する球面波にすることができます。ここで、独立な 2 解

\begin{align}
\dfrac{e^{i\omega\|x\|/c}}{\|x\|}e^{\pm i\omega t}
\end{align}

の物理学的な意味を考えてみます。$\omega/c$ は波数ですね。$k$ と置きましょう。指数の項をまとめて書くと

\begin{align}
\dfrac{e^{i(k\|x\|\pm\omega t)}}{\|x\|}
\end{align}

となります。この波の等位相面は $k\|x\|\pm\omega t=\mathrm{const.}$ となりますが、この面の伝搬速度は $\partial_t\|x\|=\mp \omega/k=\mp c$ です。ここで物理学的な解釈ですが、球面波は拡散すべき、すなわち伝搬速度は正(外向き)であるべきです。この解釈により時間発展する球面波は一方の

\begin{align}
\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}
\end{align}

に決定します。定常状態のもう一方の球面波に対しても同様に考えると

\begin{align}
\dfrac{e^{\pm i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}
\end{align}

が物理的に正しい伝搬する球面波となります。$\Omega$ は原点を含まないとして、この球面波の一方(正の方)をキルヒホッフの積分定理の $u$ に代入してみましょう。

\begin{align}
4\pi u(X)&=-\int_{\partial\Omega}\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}\pm ik\bigg)\dfrac{e^{\pm i k\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS\\
&\quad +\int_{\partial\Omega}\dfrac{e^{\pm ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\dfrac{\langle n,x\rangle}{\|x\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x\|}+ik\bigg)\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}\,dS\\
&=\int_{\partial\Omega}\dfrac{e^{i(k\|x\|-\omega t)}}{\|x\|}\dfrac{e^{\pm i k\|x-X\|}}{\|x-X\|}\bigg\{-\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}\pm ik\bigg)+\dfrac{\langle n,x\rangle}{\|x\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x\|}+ik\bigg)\bigg\}\,dS
\end{align}

中括弧の項は補正項と呼ばれています。ちょっと煩雑ですが、重要な部分は補正項ではなく球面波の積の部分です。この部分だけ取り出してみると $x$ での複素振幅

\begin{align}
\dfrac{e^{ik\|x\|}}{\|x\|}
\end{align}

に時間発展する球面波

\begin{align}
\dfrac{e^{\pm ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}e^{-i\omega t}
\end{align}

が掛かっていると読み変えることができます。この球面波が物理学的に整合するためには、複号は正でなけれななりません。同様にですが、 $u$ にもう一方の $e^{-i(k\|x\|-\omega t)}/\|x\|$ を代入した場合は複合は逆の負になります。


今回はここまで。次回はキルヒホッフの回折モデルをやります。(written by J.Nishigata)


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ホイヘンスの原理

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前回、キルヒホッフの境界条件を導きました。今回はこの条件の下でキルヒホッフの積分定理を計算してみたいと思います。

\begin{align}
4\pi u(X)&=-\int_{\partial\Omega}(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS\\
&=-\int_D(u\partial_nv-v\partial_nu)\,dS
\end{align}

開口に印加される平面波を $u=u_0e^{i(k\langle -n,x\rangle-\omega t)}$ としましょう。開口上では $\partial_nu=-iku$ が成立するので、これを代入して

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_Du(\partial_nv+ikv)\,dS
\end{align}

更に $v$ に球面波 $e^{i\pi k\|x-X\|}/\|x-X\|$ を代入して

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_Du\bigg\{\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}+ik\bigg)+ik\bigg\}\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

と式変形しておきます。これ以上に式を簡単にしていくためには、以下のような近似をします。

\begin{align}
\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\approx 1
\end{align}

この近似は、近軸近似と呼ばれています。

\begin{align}
4\pi u(X)=-\int_Du\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}+2ik\bigg)\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

この式の括弧の中身は $1/\|x-X\|$ と $2ik$ のどちらが支配的でしょうか。$k=2\pi/\lambda$ ですので $k$ は非常に大きな値をとります。したがって $2ik$ の方が支配的であると考えても良いでしょう。

\begin{align}
u(X)=-\dfrac{i}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

開口から発生する球面波を重ね合わせれば良いことが分かりますね。今回はここまで。次回は右辺の積分の中身を更に計算していくための近似を考えましょう。(written by J.Nishigata)


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