AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回前々回とキルヒホッフの積分定理の話をしてきました。今回は実際に境界条件を与えてキルヒホッフの積分定理を使う準備をしましょう。


まず、物理学のモデルを作りましょう。


単位ベクトル $n_0$ に対して $\Omega_r=\{x\in U_r(0):\langle n_0,x\rangle < 0\}$ とします。この半球体の原点付近に開口 $D$ を開けて、開口に垂直に平面波を印加します。


今分かっている境界条件は、開口 $D$ に垂直な平面波を印加するということだけです。これに整合するように全体の境界条件を決めていきます。


ホイヘンスの原理を考えると、開口に印加される平面波は、開口上の各点で発生する球面波の重ね合わせであると解釈できます。球面波とその動径方向の導関数は距離に反比例する速度で減衰します。このことから、充分大きい $r$ に対して半球面部分で $u=\partial_nu=0$ と設定したくなるかもしれませんが、半球面の面積は $r^2$ の速さで大きくなるため自明ではありません。


充分大きな $r$ をとると、任意の $\tilde{x}\in D$ に対して半球面上で

\begin{align}
&\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}=1+o(r^{-1}),\\
&\dfrac{\langle n,x-\tilde{x}\rangle}{\|x-\tilde{x}\|}=1+o(r^{-1})
\end{align}

が成立します。

\begin{align}
\dfrac{e^{ik\|x-\tilde{x}\|}}{\|x-\tilde{x}\|}\dfrac{e^{\pm i k\|x-X\|}}{\|x-X\|}\bigg\{-\dfrac{\langle n,x-X\rangle}{\|x-X\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-X\|}+ ik\bigg)+\dfrac{\langle n,x-\tilde{x}\rangle}{\|x-\tilde{x}\|}\bigg(-\dfrac{1}{\|x-\tilde{x}\|}+ik\bigg)\bigg\}=o(r^{-3})
\end{align}

$u\partial_nv-v\partial_nu$ は $r^{-3}$ よりも早く減衰することが分かりますね。したがってこの部分の積分は充分大きな $r$ に対して無視できます。以上により、充分大きい $r$ に対して球面上で $u=\partial_nu=0$ とおいても良いことが分かりました。


$D$ を除く円板の部分はどうなるでしょうか。$\partial_nu=0$ は自明でしょう。一方 $u$ は、平面 $\langle n_0,x\rangle=0$ 上で開口 $D$ の定義関数と球面波の畳込みを計算すれば良いですが、以前フーリエ変換の $\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}=1$ を示したときに計算した通り、$k$ が充分大きければ $u=0$ と見なすことができます。


以上をまとめると、充分大きい $r,k$ に対して、開口を除く境界で $u=\partial_nu=0$ という境界条件が得られます。この境界条件はキルヒホッフの境界条件と呼ばれています。


今回はここまで。次回はキルヒホッフの境界条件下でキルヒホッフの積分定理を計算してみます。(written by J.Nishigata)


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キルヒホッフの境界条件

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前回はキルヒホッフの境界条件の下でキルヒホッフの積分定理を計算していきました。

\begin{align}
u(X)=-\dfrac{i}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik\|x-X\|}}{\|x-X\|}\,dS
\end{align}

今回は右辺の計算を進めていきます。そこで、まずは前回の近軸近似を振り返ってみましょう。

\begin{align}
\|x-X\|\approx \langle n,x-X\rangle
\end{align}

右辺は点 $X$ と開口間の距離ですので、$x$ に依存しません。この式をそのままキルヒホッフの積分定理に代入したらどのようになるでしょうか。被積分関数の冪数には非常に大きな数 $k$ が掛かっているため、正しい計算とは言えません。


$\|x-X\|$ の近似を零次だけでなく $1$ 次まで採用してみましょう。正規直交基底 $\{n,e_1,e_2\}$ を用いて

\begin{align}
x=x_0+pe_1+qe_2
\end{align}

とおいて $x=x_0$ の周りで $\|x-X\|$ を $p,q$ の一次関数として近似してみます。

\begin{align}
\|x-X\|&=\|x_0-X+pe_1+qe_2\|\\
&=\sqrt{\|x_0-X\|^2+2\langle x_0-X,e_1\rangle p+2\langle x_0-X,e_2\rangle q+p^2+q^2}\\
&\approx \|x_0-X\|+\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{\|x_0-X\|}p+\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{\|x_0-X\|}q
\end{align}

この近似をフラウンホーファー近似と呼びます。これをキルヒホッフの積分定理に代入してみましょう。式を簡単にするために

\begin{align}
r_0=\|x_0-X\|,\ P=\dfrac{\langle x_0-X,e_1\rangle}{\|x_0-X\|},\ Q=\dfrac{\langle x_0-X,e_2\rangle}{\|x_0-X\|}
\end{align}

とおいて

\begin{align}
u(X)&=-\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda}\int_Du\dfrac{e^{ik(Pp+Qq)}}{r_0}\bigg(1+\dfrac{Pp}{r_0}+\dfrac{Qq}{r_0}\bigg)^{-1}\,dS\\
&\approx -\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda r_0}\int_Due^{2\pi i(Pp+Qq)/\lambda}\,dS
\end{align}

非常にシンプルな式になりました。右辺は見覚えのある形でしょう。

\begin{align}
u(X)=-\dfrac{ie^{ikr_0}}{\lambda r_0}\mathscr{F}^{-1}u(P/\lambda,Q/\lambda)
\end{align}

開口関数 $u$ の逆フーリエ像が計算できれば $X$ での複素振幅 $u(X)$ を得ることができます。今回はここまで。次回はコンデンサレンズを用いた回折の話をします。(written by J.Nishigata)


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キルヒホッフの回折モデルで計算してみよう