AlxisDataBlog-数学・物理学

前回、PSF の定義をしました。簡単に言ってしまえば、開口関数の逆フーリエ像の大きさの $2$ 乗のことですね。PSF は実像の光学特性を表すものですが、PSF のフーリエ像を計算することによって開口の特性として扱うことが非常に多いです。PSF による畳込みは、スペクトル空間では単純な掛け算になるので、PSF のフーリエ像を知っておいた方が便利です。

今の PSF の定義式のままではフーリエ変換し辛いので式変形してみましょう。

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}u_0(P/(\lambda f_0),Q/(\lambda f_0))&=\int_Du_0e^{2\pi i(Pp+Qq)/(\lambda f_0)}\,dS\\ &=(\lambda f_0)^2\int_{\mathbb{R}^2}u_0(\lambda f_0p,\lambda f_0q)e^{2\pi i(Pp+Qq)}\,dS \end{align}

$g(p,q)=u_0(\lambda f_0p,\lambda f_0q)$ とおけば右辺は $(\lambda f_0)^2\mathscr{F}^{-1}g(P,Q)$ となります。先に PSF の規格化定数を求めておきましょう。パーセバルの公式を使えば

\begin{align} \int_{\mathbb{R}^2}\dfrac{C}{\lambda^2 f_0^2}(\lambda f_0)^4\big|\mathscr{F}^{-1}g\big|^2\,dS=C(\lambda f_0)^2\int_{\mathbb{R}^2}|g|^2\,dS=C(\lambda f_0)^2\|g\|_2^2 \end{align}

これが $1$ と等しくなることが規格化の条件ですので、規格化定数は

\begin{align} C=\dfrac{1}{(\lambda f_0)^2\|g\|_2^2} \end{align}

となります。$\tilde{g}(p,q)=g(-p,-q)^{\ast}$ とおくと

\begin{align} \mathscr{F}^{-1}u_0(P/(\lambda f_0),Q/(\lambda f_0))^{\ast}&=(\lambda f_0)^2\int_{\mathbb{R}^2}g^{\ast}(p,q)e^{-2\pi i(Pp+Qq)}\,dS\\ &=(\lambda f_0)^2\int_{\mathbb{R}^2}\tilde{g}(p,q)e^{2\pi i(Pp+Qq)}\,dS\\ &=(\lambda f_0)^2\mathscr{F}^{-1}\tilde{g}(P,Q) \end{align}

畳込みの公式を使えば PSF は

\begin{align} \dfrac{\mathscr{F}^{-1}(g\ast\tilde{g})}{\|g\|_2^2} \end{align}

これでフーリエ像の計算が楽にできますね。

\begin{align} \dfrac{g\ast\tilde{g}}{\|g\|_2^2} \end{align}

これを OTF(Optical Transfer Function) と呼びます。今回はここまで。次回は MTF, PTF の話をします。(written by J.Nishigata)

PSF 関連の用語 OTF