AlxisDataBlog-数学・物理学

以前、平面波のレンズによる回折を計算しました。

\begin{align} u(X)=-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}u_0(P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi)) \end{align}

大きさの $2$ 乗を計算すると

\begin{align} |u(X)|^2=\bigg(\dfrac{1}{2\lambda}-\dfrac{\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)^2\dfrac{1}{f_0^2}\big|\mathscr{F}^{-1}u_0(P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi))\big|^2 \end{align}

時間的インコヒーレントな平面波の重ね合わせの観測像は、前回やった通り $|u(X)|^2$ の重ね合わせになります。波数ベクトルに依存する

\begin{align} \bigg(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\lambda\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)^2 \end{align}

倍の減衰(周辺減光と呼ばれる減衰)はあるものの

\begin{align} \dfrac{1}{\lambda^2 f_0^2}\big|\mathscr{F}^{-1}u_0\big|^2 \end{align}

による畳込みで書けることが分かりますね。この関数を実空間の物理的なスケールに変換して規格化したものを、点像分布関数、点広がり関数、PSF(Point Spread Function)、インパルス応答関数、装置関数、劣化関数など様々な名前で呼びます。

被写体からの光をコリメートしてコンデンサレンズへ印加していると考えれば、焦点位置での観測像は被写体に PSF を畳込んだ像として解釈できます。これを畳込みモデルと呼びます。

今回はここまで。次回は PSF に関連する用語として OTF, MTF, PTF, ESF, LSF を説明します。(written by J.Nishigata)

平面波の重ね合わせをフレネル回折させてみよう