AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






PSF はその名の通り点光源の結像です。理論的にはこの概念は理解し易いのですが、現実的に考えると点光源は有限の物理的な大きさをもち、更に回折により結像のコントラストはあまり良くありません。


PSF を実験的に求めるためには、大きさを無視できるような被写体(蛍光ビーズ、レーザー光、北極星)を使う場合もありますが、もう少し気軽に調べたいこともあるでしょう。そんな時に登場するのが LSF と ESF です。


LSF(Line Spread Function) は直線の結像です。現実の直線は有限の太さをもつため、直接的に使うことはないのですが、ESF(Edge Spread Function) に関連付けて間接的に使うことは良くあります。


ESF は名前の通りエッジ、すなわちヘヴィサイド関数の結像を意味します。ESF から PSF を算出する手順を考えてみましょう。

\begin{align}
\mathrm{ESF}(x^1)=\int_{-\infty}^{x^1}\bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{PSF}(x^1,x^2)\,dx^2\bigg)\,dx^1
\end{align}

ESF を微分すると

\begin{align}
\partial\mathrm{ESF}(x^1)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{PSF}(x^1,x^2)\,dx^2=\mathrm{LSF}(x^1)
\end{align}

これで ESF と LSF の関係が分かりました。LSF のフーリエ像を計算すると

\begin{align}
\mathscr{F}(\mathrm{LSF})&=\int_{-\infty}^{\infty}\bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{PSF}(x^1,x^2)\,dx^2\bigg)e^{-2\pi ix^1y^1}\,dx^1\\
&=\mathscr{F}(\mathrm{PSF})(y^1,0)
\end{align}

これで PSF と関連付けられます。エッジをとる角度を変えて同様に考えれば、スペクトル空間全体で $\mathscr{F}(\mathrm{PSF})$ を求めることができます。ちなみに、この LSF と PSF の関係式は投影定理と呼ばれています。


今回はここまで。次回は、簡単な開口関数に対して PSF を計算したいのですが、その準備としてベッセル関数の性質を調べます。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.

PSF 関連の用語 LSF, ESF

AlxisDataBlog-数学・物理学


MathJax = {
  chtml: {
    matchFontHeight: false
  },
  tex: {
    inlineMath: [['$', '$']]
  }
};






前回、ベッセル関数を生成する母関数を求めました。

\begin{align}
e^{-x/(2z)}e^{xz/2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k
\end{align}

今回もこれを使って考えます。まず両辺を $x$ で微分してみましょう。

\begin{align}
-\dfrac{1}{2z}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}+\dfrac{z}{2}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\partial J_k(x)z^k
\end{align}

左辺を級数展開して $z^k$ の係数を比較すると

\begin{align}
-\dfrac{1}{2}J_{k+1}+\dfrac{1}{2}J_{k-1}=\partial J_k
\end{align}

同様に $z$ に関して微分して

\begin{align}
\dfrac{x}{2z^2}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}+\dfrac{x}{2}e^{-x/(2z)}e^{xz/2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}kJ_k(x)z^{k-1}
\end{align}

左辺を級数展開して $z^{k-1}$ の係数を比較すると

\begin{align}
\dfrac{x}{2}J_{k+1}+\dfrac{x}{2}J_{k-1}=kJ_k
\end{align}

$2$ 本の漸化式が得られました。前者を $x$ 倍して和と差を計算すると

\begin{align}
&xJ_{k-1}=x\partial J_k+kJ_k,\\
&-xJ_{k+1}=x\partial J_k-kJ_k
\end{align}

という式へ書き換えられます。前者に $x^{k-1}$ を掛けると

\begin{align}
x^kJ_{k-1}=x^k\partial J_k+kx^{k-1}J_k=\partial(x^kJ_k)
\end{align}

後者に $x^{-k-1}$ を掛けると

\begin{align}
-x^{-k}J_{k+1}=x^{-k}\partial J_k-kx^{-k-1}J_k=\partial(x^{-k}J_k)
\end{align}

今回はここまで。次回はベッセル関数の積分表示を用いてハンケル変換を定義します。(written by J.Nishigata)


Copy Right 2020-現在 ALXIS DATA, Inc. All Right Reserved.