AlxisDataBlog-数学・物理学


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以前ベッセル関数を定義したときは、ベッセル方程式を使いました。ベッセル関数の性質を調べる場合、ベッセル方程式を式変形に用いることは困難であることが多いです。


数列の性質を調べる代表的な方法に、母関数というものがあります。

\begin{align}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k
\end{align}

まずはこの級数を計算してみましょう。(収束に関する議論は省略しますが、気になる方は調べてみてください)

\begin{align}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k&=\sum_{k=0}^{\infty}J_k(x)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kJ_k(x)z^{-k}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^m}{m!(m+k)!}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+k}z^k\\
&\quad +\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m+k}}{m!(m+k)!}\bigg(\dfrac{x}{2}\bigg)^{2m+k}z^{-k}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{1}{m!(m+k)!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^m\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^{m+k}\\
&\quad +\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{1}{m!(m+k)!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^{m+k}\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^m\\
&=\sum_{m\le k}\dfrac{1}{m!k!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^m\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^k+\sum_{m>k}\dfrac{1}{m!k!}\bigg(-\dfrac{x}{2z}\bigg)^m\bigg(\dfrac{xz}{2}\bigg)^k\\
&=e^{-x/(2z)}e^{xz/2}
\end{align}

非常にシンプルな母関数になりました。母関数から各係数を選択的に抽出するには留数定理を使います。例えば $J_k$ を取り出すためには $z^{-k-1}$ を掛けて特異点 $z=0$ の周りで複素積分すれば良いです。

\begin{align}
J_k(x)&=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1} e^{-x/(2z)}e^{xz/2}z^{-k-1}\,dz\\
&=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-xe^{-i\theta}/2}e^{xe^{i\theta}/2}e^{-ik\theta}\,d\theta\\
&=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(x\sin\theta-k\theta)}\,d\theta\\
&=\dfrac{(-i)^k}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(x\cos\theta-k\theta)}\,d\theta
\end{align}

今回はここまで。次回はベッセル関数の導関数に関して調べていきます。(written by J.Nishigata)


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ベッセル関数の積分表示

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$2$ 次元のフーリエ変換を書いてみましょう。

\begin{align}
\mathscr{F}f(y)=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)e^{-2\pi i\langle x,y\rangle}\,dS
\end{align}

今回考えたいのは、回転対称な関数 $f$ のフーリエ変換です。$f$ のラディアル関数を $\tilde{f}$ とおいてフーリエ変換を極座標で書き換えてみましょう。

\begin{align}
\mathscr{F}f(y)&=\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)\bigg\{\int_{-\pi}^{\pi} e^{-2\pi ir(y^1\cos\theta+y^2\sin\theta)}\,d\theta\bigg\}\,dr\\
&=\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)\bigg\{\int_{-\pi}^{\pi} e^{2\pi ir\|y\|\cos\theta}\,d\theta\bigg\}\,dr
\end{align}

右辺にベッセル関数の積分表示を使います。

\begin{align}
J_0(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ix\cos\theta}\,d\theta
\end{align}

これを使います。

\begin{align}
\mathscr{F}f(y)=2\pi\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)J_0(2\pi r\|y\|)\,dr
\end{align}

積分が $1$ つ消えましたね。この右辺に現れる変換

\begin{align}
\mathscr{H}\tilde{f}(R)=\int_0^{\infty}r\tilde{f}(r)J_0(rR)\,dr
\end{align}

をハンケル変換と呼びます。改めてフーリエ変換をハンケル変換で書くと

\begin{align}
\mathscr{F}f(y)=2\pi\mathscr{H}\tilde{f}(2\pi \|y\|)
\end{align}

となります。今回はここまで。準備が整ったので、次回は簡単な開口関数の PSF を計算しましょう。(written by J.Nishigata)


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ベッセル関数の導関数と次数の関係