AlxisDataBlog-数学・物理学


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  }
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レイリー限界と焦点深度の式を思い出しましょう。

\begin{align}
&\text{レイリー限界}=0.61\dfrac{\lambda}{\mathrm{NA.}}\\
&\text{焦点深度}=\dfrac{\lambda (1+\sqrt{1-\mathrm{NA.}^2})}{4\mathrm{NA.}^2}
\end{align}

被写体側と結像側の屈折率の比を $1$ とおくと、このようになります。開口数を変数とした関数として、レイリー限界は単調減少関数になっています。同様に焦点深度も単調減少関数ですね。したがって、開口数を介して分解能が良くなるほど焦点深度は浅くなります。


焦点深度が浅いということは、すなわちフォーカス制御が困難であることを意味します。レイリー限界と焦点深度は利点に関してトレードオフであると考えることができますね。


適切な開口数のレンズを選ぶためにはトレードオフに注意しなければなりません。用途に適した分解能と焦点深度が与えられていれば開口数を上下から評価することができます。片方だけの性能にとらわれず、適切な開口数を選ぶようにしましょう。


余談ですが、開口数が充分小さい場合、焦点深度は

\begin{align}
\text{焦点深度}\approx\dfrac{\lambda}{2\mathrm{NA.}^2}
\end{align}

のように近似できます。必要に応じて使い分けると計算が簡単です。今回はここまで。次回は、具体的にフォーカスのズレた光学像を計算してみましょう。(written by J.Nishigata)


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レイリー限界と焦点深度の相関

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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以前 OTF の説明で PSF のスペクトルを計算しました。

\begin{align}
\mathscr{F}\mathrm{PSF}=\dfrac{g\ast\tilde{g}}{\|g\|_2^2}
\end{align}

$g$ は開口関数をスケーリングしたものであり台有界です。したがって $\tilde{g}$ も台有界となり $g,\tilde{g}$ を畳込んだ $g\ast \tilde{g}$ も当然のことながら台有界となります。

\begin{align}
\{\sqrt{p^2+q^2}:(p,q)\in\mathrm{supp}(g\ast\tilde{g})\}
\end{align}

の最大値を遮断周波数と呼びます。物理学的には開口は有界なので、常に遮断周波数は存在します。試しにエアリーパターンの遮断周波数を考えてみましょう。開口関数は直径 $d_0$ の円板定義関数でしたね。このとき $g$ は直径 $1/(\lambda F)$ の円板定義関数になります。したがって $g\ast\tilde{g}$ の台は半径 $1/(\lambda F)$ の円板。このとき遮断周波数は $1/(\lambda F)$ です。


光学像の畳込みモデルでは遮断周波数は極めて重要な係数と考えられます。

\begin{align}
h=\mathrm{PSF}\ast f
\end{align}

畳込みモデルのフーリエ像は、畳込み定理により

\begin{align}
\mathscr{F}h=\mathrm{OTF}\mathscr{F}f
\end{align}

となります。遮断周波数を超えるスペクトル領域で、右辺は零である故に光学像の空間周波数である左辺も零になってしまいます。


零となってしまった周波数からは $\mathscr{F}f$ へ回復させることができないという問題が生じます。今回はここまで。次回からは、話題を変えて弊社独自のデコンボリューションの話をします。(written by J.Nishigata)


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焦点位置からズレた像を計算してみよう