AlxisDataBlog-数学・物理学


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    inlineMath: [['$', '$']]
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まず、フレネル近似を計算してみましょう。

\begin{align}
\|x-X\|\approx f_0+\varepsilon+\dfrac{f_0-\varepsilon}{2}(P^2+Q^2)+\dfrac{f_0-\varepsilon}{f_0}(Pp+Qq)+\dfrac{p^2+q^2}{2f_0}-\dfrac{p^2+q^2}{2f_0^2}\varepsilon
\end{align}

レンズによる遅延を減算すると

\begin{align}
f_0+\varepsilon+\dfrac{f_0-\varepsilon}{2}(P^2+Q^2)+\dfrac{f_0-\varepsilon}{f_0}(Pp+Qq)-\dfrac{p^2+q^2}{2f_0^2}\varepsilon
\end{align}

これをキルヒホッフの積分公式に代入して計算すると、$A=f_0+\varepsilon+(f_0-\varepsilon)(P^2+Q^2)/2$ とおいて

\begin{align}
u(X-\varepsilon n)&\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\int_Due^{2\pi i(f_0-\varepsilon)(Pp+Qq)/(f_0\lambda)}e^{-\pi i(p^2+q^2)\varepsilon/(f_0^2\lambda)}\,dS\\
&\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\int_Due^{2\pi i(f_0-\varepsilon)(Pp+Qq)/(f_0\lambda)}\bigg\{1-i\dfrac{\pi(p^2+q^2)\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg\}\,dS
\end{align}

特に円板定義関数が開口関数となっているとき $u=e^{i(k_1p+k_2q)}$ を右辺に代入して

\begin{align}
u(X-\varepsilon n)\approx-\bigg(\dfrac{i}{2\lambda}-\dfrac{i\langle n,k\rangle}{4\pi}\bigg)\dfrac{e^{i\|k\|A}}{f_0}\mathscr{F}^{-1}\bigg[1-i\dfrac{\pi(p^2+q^2)\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg](P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi))
\end{align}

あとはハンケル変換の部分を計算していくだけです。積分の項だけ計算すると

\begin{align}
&2\pi \int_0^{d_0/2}r\bigg(1-i\dfrac{\pi r^2\varepsilon}{f_0^2\lambda}\bigg)J_0(2\pi r\|P/\lambda+k_1/(2\pi),Q/\lambda+k_2/(2\pi)\|)\,dr\\
&=\dfrac{d_0J_1(\pi d_0\|\cdot\|)}{2\|\cdot\|}-i\dfrac{\pi\varepsilon d_0^3}{8f_0^2\lambda\|\cdot\|}J_1(\pi d_0\|\cdot\|)+i\dfrac{\varepsilon d_0^2}{4f_0^2\lambda\|\cdot\|^2}J_2(\pi d_0\|\cdot\|)
\end{align}

となります。今回はここまで。次回は遮断周波数の話をします。(written by J.Nishigata)


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焦点位置からズレた像を計算してみよう

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畳込みの逆演算、すなわち

\begin{align}
g=k\ast f
\end{align}

という方程式に関して $g$ から $f$ を算出する演算をデコンボリューションと呼びます。デコンボリューションを考えるにあたり $2$ 点の注意点があります。


これまで説明してきた通り、現実の PSF は IIR フィルタであり遮断周波数をもちます。このような条件下でのデコンボリューションは「物理学的な」デコンボリューションと言えるでしょう。


IIR フィルタの取り扱いはとても困難です。デコンボリューション研究の初歩では、見方によっては問題が異質になろうとも IIR ではなく FIR に制限して考えることが一般的です。このようなデコンボリューションは、最早物理学的ではありませんが、数学の範疇で考えることにしましょう。これが $1$ 点目の注意です。


$2$ 点目の注意は、PSF は既知であるか未知であるかということです。既知であれば既知の関数 $g,k$ に対して未知の関数は $f$ だけですが、一方未知であれば既知の関数 $g$ に対して未知の関数は $k,f$ というように全く異なった問題になります。


今回は、PSF は FIR 型かつ既知であるという仮定をおきましょう。


一般的にはデコンボリューションは、スペクトル空間で実行されます。その大きい理由は、畳込み定理による畳込み演算の簡素化です。ですがここではフーリエ変換を禁止してみることにしましょう。例えば、連続関数 $f$ に対して $k$ は FIR なので畳込み $k\ast f$ は定義できますが一方で $f$ のフーリエ像は存在するとは限りません。


このように関数 $f$ のクラスを大きくとる代わりに、PSF にもう少し強い条件を課すことにします。


i). PSF $k$ は回転対称である。
ii). 台の上で $k$ は滑らかである。
iii). 或る正数 $M$ が存在して、台の開核上で $k$ の任意次数の導関数の絶対値は上から $M$ で評価される。


このような条件下でデコンボリューションを考えていきましょう。iii) は有界収束定理を使うための条件ですね。なお作用させる関数 $f$ には状況に応じて適当な階数の微分連続性を要求することにします。今回はここまで。次回は今回の問題設定に至った経緯となるポンペイユの逆問題の話をします。(written by J.Nishigata)


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