AlxisDataBlog-数学・物理学


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畳込みの逆演算、すなわち

\begin{align}
g=k\ast f
\end{align}

という方程式に関して $g$ から $f$ を算出する演算をデコンボリューションと呼びます。デコンボリューションを考えるにあたり $2$ 点の注意点があります。


これまで説明してきた通り、現実の PSF は IIR フィルタであり遮断周波数をもちます。このような条件下でのデコンボリューションは「物理学的な」デコンボリューションと言えるでしょう。


IIR フィルタの取り扱いはとても困難です。デコンボリューション研究の初歩では、見方によっては問題が異質になろうとも IIR ではなく FIR に制限して考えることが一般的です。このようなデコンボリューションは、最早物理学的ではありませんが、数学の範疇で考えることにしましょう。これが $1$ 点目の注意です。


$2$ 点目の注意は、PSF は既知であるか未知であるかということです。既知であれば既知の関数 $g,k$ に対して未知の関数は $f$ だけですが、一方未知であれば既知の関数 $g$ に対して未知の関数は $k,f$ というように全く異なった問題になります。


今回は、PSF は FIR 型かつ既知であるという仮定をおきましょう。


一般的にはデコンボリューションは、スペクトル空間で実行されます。その大きい理由は、畳込み定理による畳込み演算の簡素化です。ですがここではフーリエ変換を禁止してみることにしましょう。例えば、連続関数 $f$ に対して $k$ は FIR なので畳込み $k\ast f$ は定義できますが一方で $f$ のフーリエ像は存在するとは限りません。


このように関数 $f$ のクラスを大きくとる代わりに、PSF にもう少し強い条件を課すことにします。


i). PSF $k$ は回転対称である。
ii). 台の上で $k$ は滑らかである。
iii). 或る正数 $M$ が存在して、台の開核上で $k$ の任意次数の導関数の絶対値は上から $M$ で評価される。


このような条件下でデコンボリューションを考えていきましょう。iii) は有界収束定理を使うための条件ですね。なお作用させる関数 $f$ には状況に応じて適当な階数の微分連続性を要求することにします。今回はここまで。次回は今回の問題設定に至った経緯となるポンペイユの逆問題の話をします。(written by J.Nishigata)


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デコンボリューションの問題設定

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前回はポンペイユの逆問題の話をしました。今回は特別な場合として $K$ が正方形の場合を考えてみます。


正方形の定義関数による畳込みといえば、イメージセンサの画素の形状が連想されます。ポンペイユ変換に関する研究は直接的に超解像技術へ応用できるでしょう。今回は、この応用を見越してポンペイユ変換の単射性だけではなく反転公式の導出まで考えることにします。


以下の $3$ パターンに対して反転公式を考えましょう。


i). 或る円が存在して、その外側で $f=0$ となる連続関数の場合。
ii). $f$ が自乗可積分かつ絶対可積分な微分連続関数の場合。
iii). $f$ が $2$ 階微分連続な場合。


まず、i) の場合を考えます。

\begin{align}
P(y,\theta)=\iint_{\{se(\theta)+te(\theta+\pi/2):0< s,t< 1\}}f(x+y)\,dS
\end{align}

という関数を $y$ に関して $e(\theta),e(\theta+\pi/2)$ 方向に微分すると

\begin{align}
\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P=f(y)+f(y+e(\theta)+e(\theta+\pi/2))-f(y+e(\theta))-f(y+e(\theta+\pi/2))
\end{align}

となります。ここに $e(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ です。

\begin{align}
&\sum_{s,t=0}^{n-1}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)\\
&=f(y)+f(y+ne(\theta)+ne(\theta+\pi/2))-f(y+ne(\theta))-f(y+ne(\theta+\pi/2))
\end{align}

$f$ に課された条件より、$y$ に対して充分大きな $n$ が存在して

\begin{align}
f(y+ne(\theta)+ne(\theta+\pi/2))=f(y+ne(\theta))=f(y+ne(\theta+\pi/2))=0
\end{align}

が成立します。したがって

\begin{align}
\sum_{s,t=0}^{\infty}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)=f(y)
\end{align}

反転公式が得られました。この反転公式を使う場合は $\theta$ に関して積分しておいた方が良いです。

\begin{align}
2\pi f(y)=\int_0^{2\pi}\sum_{s,t=0}^{\infty}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)\,d\theta
\end{align}

今回はここまで。次回は ii) の場合での反転公式を求めます。(written by J.Nishigata)


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