AlxisDataBlog-数学・物理学

前回はポンペイユの逆問題の話をしました。今回は特別な場合として $K$ が正方形の場合を考えてみます。

正方形の定義関数による畳込みといえば、イメージセンサの画素の形状が連想されます。ポンペイユ変換に関する研究は直接的に超解像技術へ応用できるでしょう。今回は、この応用を見越してポンペイユ変換の単射性だけではなく反転公式の導出まで考えることにします。

以下の $3$ パターンに対して反転公式を考えましょう。

i). 或る円が存在して、その外側で $f=0$ となる連続関数の場合。
ii). $f$ が自乗可積分かつ絶対可積分な微分連続関数の場合。
iii). $f$ が $2$ 階微分連続な場合。

まず、i) の場合を考えます。

\begin{align} P(y,\theta)=\iint_{\{se(\theta)+te(\theta+\pi/2):0< s,t< 1\}}f(x+y)\,dS \end{align}

という関数を $y$ に関して $e(\theta),e(\theta+\pi/2)$ 方向に微分すると

\begin{align} \partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P=f(y)+f(y+e(\theta)+e(\theta+\pi/2))-f(y+e(\theta))-f(y+e(\theta+\pi/2)) \end{align}

となります。ここに $e(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ です。

\begin{align} &\sum_{s,t=0}^{n-1}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)\\ &=f(y)+f(y+ne(\theta)+ne(\theta+\pi/2))-f(y+ne(\theta))-f(y+ne(\theta+\pi/2)) \end{align}

$f$ に課された条件より、$y$ に対して充分大きな $n$ が存在して

\begin{align} f(y+ne(\theta)+ne(\theta+\pi/2))=f(y+ne(\theta))=f(y+ne(\theta+\pi/2))=0 \end{align}

が成立します。したがって

\begin{align} \sum_{s,t=0}^{\infty}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)=f(y) \end{align}

反転公式が得られました。この反転公式を使う場合は $\theta$ に関して積分しておいた方が良いです。

\begin{align} 2\pi f(y)=\int_0^{2\pi}\sum_{s,t=0}^{\infty}\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+se(\theta)+te(\theta+\pi/2),\theta)\,d\theta \end{align}

今回はここまで。次回は ii) の場合での反転公式を求めます。(written by J.Nishigata)

正方形に対して定義されるポンペイユ変換の反転公式