AlxisDataBlog-数学・物理学


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    inlineMath: [['$', '$']]
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前々回、前回から引き続き $K$ が正方形の場合を考えていきます。今回は $f$ には $2$ 階微分連続という条件しか課されていませんので、前回や前々回のような議論は展開できません。特に無限遠の性質を使うような解法はすべて NG と考えるべきでしょう。逆に考えると、もしも広いクラスでの解法が見つかるのであれば、前回前々回の条件に対しても効果的な解法になっているかもしれません。


以前計算しましたが

\begin{align}
P(y,\theta)=\iint_{\{se(\theta)+te(\theta+\pi/2):-1/2< s,t< 1/2\}}f(x+y)\,dS
\end{align}

の導関数は

\begin{align}
\partial_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P&=f(y-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)+f(y+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad -f(y+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)-f(y-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)
\end{align}

でしたね。これを更に $y$ で微分してみると

\begin{align}
\partial_{e(\theta)}\partial^2_{e(\theta+\pi/2)}P&=\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad +\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad -\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2)\\
&\quad -\partial_{e(\theta+\pi/2)}f(y-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2)
\end{align}

となります。この式を $\theta$ に関して $1$ 周積分してみます。

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}\partial^2_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\
&=\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad +\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&=\dfrac{1}{\|r+1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1\|,y)-\dfrac{1}{\|r-1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,1\|,y)
\end{align}

ここで $\psi$ という関数は

\begin{align}
\psi(r,y)=\int_0^{2\pi}f(y+re(\theta))\,d\theta
\end{align}

と定義しています。中心を変えて同様に

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}\partial^2_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta),\theta)\,d\theta\\
&=\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&\quad +\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2-e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2,e(\theta+\pi/2)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)/2\|,y)\\
&=\dfrac{-1/2}{\|r-1/2,-1/2\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,-1/2\|,y)+\dfrac{1/2}{\|r+1/2,1/2\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{-1/2}{\|r+1/2,-1/2\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,-1/2\|y)-\dfrac{1/2}{\|r-1/2,1/2\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,1/2\|,y)\\
&=-\dfrac{1}{\|r-1/2,-1/2\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,-1/2\|,y)+\dfrac{1}{\|r+1/2,1/2\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1/2\|,y)
\end{align}

したがって $h(r)=\partial_r\psi(r,y)/r$ と定義すると

\begin{align}
h(\|r+1/2,1\|)-h(\|r-1/2,1\|),\ h(\|r+1/2,1/2\|)-h(\|r-1/2,-1/2\|)
\end{align}

という $2$ つの関数値が計算可能であることが分かります。この $2$ つの式から $h$ を計算していきましょう。

\begin{align}
&A(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-1}},\\
&B(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-4}}
\end{align}

のような対応の関数を定義すると $h(\|r+1/2,1\|)-h(\|r-1/2,1\|),h(\|r+1/2,1/2\|)-h(\|r-1/2,-1/2\|)$ は $h(B(t))-h(t),h(A(t))-h(t)$ という簡単な表記になります。ここから何をやるのかというと、$t$ から適当な $A,B$ の合成によって移る点列で $t$ への自明ではない収束列が存在するのか否かを調べていきます。


今回はここまで。次回は続きをやります。(written by J.Nishigata)


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大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その１

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前回 $\partial h$ を計算しました。しかし、$t\ge 0$ 全体で $\partial h(t)$ が計算できることは保証されていません。今回は、この計算できる定義域を広げようと思います。


まず、$h(A(t))-h(t)$ に注意しましょう。$t$ に関する微分を考えれば、$\partial h(A(t))$ が求まっていれば $\partial h(t)$ も計算できますね。帰納的に $t\ge 1/2$ の定義域で $\partial h(t)$ は計算できます。

\begin{align}
h(t)-h(1/2)=\int_{1/2}^t\partial h\,dt
\end{align}

という差も $t\ge 1/2$ の領域で計算できます。

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial^2_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\
&=\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2,e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad +\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)+e(\theta)/2,e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)+e(\theta)/2\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)+e(\theta)/2\|,y)\\
&\quad -\dfrac{\langle re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2),e(\theta)\rangle}{\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|}\partial_r\psi(\|re(\theta)-e(\theta)/2+e(\theta+\pi/2)\|,y)\\
&=\partial_r\psi(r-1/2,y)+\dfrac{r+1/2}{\|r+1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r+1/2,1\|,y)-\partial_r\psi(r+1/2,y)-\dfrac{r-1/2}{\|r-1/2,1\|}\partial_r\psi(\|r-1/2,1\|,y)\\
&=(r-1/2)h(r-1/2)+(r+1/2)h(\|r+1/2,1\|)-(r+1/2)h(r+1/2)-(r-1/2)h(\|r-1/2,1\|)
\end{align}

この式で $r\ge 1/2$ ならば $\|r+1/2,1\|,r+1/2,\|r-1/2,1\|$ これらすべては $1/2$ 以上になります。

\begin{align}
&\int_0^{2\pi}\partial^2_{e(\theta)}\partial_{e(\theta+\pi/2)}P(y+re(\theta)+e(\theta+\pi/2)/2,\theta)\,d\theta\\
&=(r-1/2)\{h(r-1/2)-h(1/2)\}+(r+1/2)\{h(\|r+1/2,1\|)-h(1/2)\}\\
&\quad -(r+1/2)\{h(r+1/2)-h(1/2)\}-(r-1/2)\{h(\|r-1/2,1\|)-h(1/2)\}
\end{align}

と変形してみましょう。$h(r-1/2)-h(1/2),r\ge 1/2$ も計算できます。したがって $t\ge 0$ 全体で $\partial h$ が求まるわけです。

\begin{align}
h(t)&=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+h(\varepsilon)\\
&=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+\dfrac{1}{\varepsilon}\int_0^{2\pi}\partial_{e(\theta)}f(\varepsilon e(\theta)+y)\,d\theta\\
&=\int_{\varepsilon}^t\partial h\,dt+\dfrac{1}{\varepsilon}\int_0^{2\pi}\{\partial_{e(\theta)}f(y)+\partial_{e(\theta)}^2f(y)\varepsilon+o(\varepsilon)\}\,d\theta\\
&\to \int_0^t\partial h\,dt+\pi\Delta f(y)\ \text{as }\varepsilon\to 0
\end{align}

$\pi\Delta f(y)$ だけ不定性がありますが、$h$ の計算ができました。今回はここまで。次回も続きをやります。(written by J.Nishigata)


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