AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回から引き続き $K$ が正方形の場合を考えていきましょう。今回の関数のクラスは，自乗可積分、絶対可積分、微分連続を満足する場合です。フーリエ変換が使えるわけですね。

\begin{align}
\mathscr{F}[k\ast f]=\mathscr{F}k\mathscr{F}f
\end{align}

$\mathscr{F}k$ で割ってから逆フーリエ変換を実行すれば

\begin{align}
\mathscr{F}^{-1}\bigg[\dfrac{\mathscr{F}[k\ast f]}{\mathscr{F}k}\bigg]=f
\end{align}

となりそうですね。逆フーリエ変換の中身の分母が零となってしまう場合には困ってしまいますが、分母 $\mathscr{F}k$ の零点の測度が零であれば、左辺はルベーグ積分として計算できます。


今、$k$ は正方形の定義関数なので、そのフーリエ像は以前計算した通り $\mathrm{sinc}$ 関数の積になります。零点の測度が零であることが確認できますので、上の計算式は正しく計算できます。これで反転公式が導出できましたね。


ただし、$\mathscr{F}k$ の零点に近い所では非常に小さい値で $\mathscr{F}[k\ast f]$ を割らなければなりません。理論上は $\mathscr{F}[k\ast f]$ の値も同様に小さいのですが、実用上ではあらゆる理由により $\mathscr{F}[k\ast f]$ は小さくなってくれないかもしれません。結果として $\mathscr{F}k$ の零点近傍では理論からの誤差が大きく増幅されてしまうリスクがあります。


ポンペイユ変換は畳込みと違い回転運動も許可されています。$R$ を回転行列として $k(Rx)$ のフーリエ像を計算してみましょう。

\begin{align}
\int_{\mathbb{R}^2}k(Rx)e^{-2\pi i\langle x,y\rangle}\,dS=\int_{\mathbb{R}^2}k(Rx)e^{-2\pi i\langle Rx,Ry\rangle}\,dS=\mathscr{F}k(Ry)
\end{align}

フーリエ像も同様にして回転させればよいことが分かります。零点だった周波数も、回転させれば零点から外すことができます。零点の近傍では、このように回転させて零点を回避してから計算することで、誤差増幅のリスク回避が期待できます。


今回はここまで。次回は $f$ が微分連続な場合を考えます。(written by J.Nishigata)


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フーリエ変換を用いたポンペイユ変換の反転公式

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前回、次のような関数を定義しました。

\begin{align}
&A(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-1}},\\
&B(t)=\sqrt{t^2+1+\sqrt{4t^2-4}}
\end{align}

今回はちゃんとやろうとすると計算が非常に多いので、概略のみを記載することにします。まず、$A,B$ が可換であるか否かを調べます。

\begin{align}
BA(t)&=\sqrt{A(t)^2+1+\sqrt{4A(t)^2-4}}\\
&=\sqrt{t^2+2+\sqrt{4t^2-1}+2\sqrt{t^2+\sqrt{4t^2-1}}},\\
AB(t)&=\sqrt{B(t)^2+1+\sqrt{4B(t)^2-1}}\\
&=\sqrt{t^2+2+\sqrt{4t^2-4}+\sqrt{4t^2+3+4\sqrt{4t^2-4}}}
\end{align}

これらを比較して $BA(t)>AB(t)$、すなわち $A,B$ は非可換ということが分かります。この非可換な関数 $A,B$ を用いて次のような手順で関数列 $\{A_i,B_i,C_i,D_i\}$ を作りましょう。


まず、$\{A_i,B_i\}$ の初期値は $A_0=A,B_0=B$ とします。$A_i,B_i$ は非可換かつ $A_i(t)>t,B_i(t)>t$と仮定しましょう。$A_iB_i\neq B_iA_i$ なので $A_iB_i,B_iA_i$ の内で大きい方を $C_i$ 小さい方を $D_i$ とおきます。これを用いて

\begin{align}
A_{i+1}=D_i^{-1}C_i,\ B_{i+1}=C_iD_i^{-1}
\end{align}

とおきます。すると、帰納的に


i). $A_i(t)>t,B_i(t)>t$ 。
ii). $A_i,B_i$ は非可換。


がすべての $i$ で成立し、$\{A_i,B_i\}$ は無限列となります。さらにこの関数列は

\begin{align}
\max\{A_i(t),B_i(t)\}\to 0\ \text{as }i\to\infty
\end{align}

という性質を満たします。以上で恒等写像に収束する自明ではない関数列 $E_i$ を $A,B$ の合成で構築することができました。

\begin{align}
\dfrac{h(E_i(t))-h(t)}{E_i(t)-t}\to\partial h(t)\ \text{as }i\to\infty
\end{align}

これで $\partial h$ が計算できるようになります。今回はここまで。次回もこの続きをやります。(written by J.Nishigata)


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大きい関数クラス上でのポンペイユ変換の反転公式その１