AlxisDataBlog-数学・物理学


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  }
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前々回の続きです。今得られている式は、環状項が消えない式

\begin{align}
a_1\langle 1\rangle_k=\psi+\langle b_1\rangle_k,\ a_2\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi+\langle b_2\rangle_k
\end{align}

そして剰余項を生成する式

\begin{align}
c_i\langle 1\rangle_k=\langle d_i\rangle_k,\ c_i\in G
\end{align}

です。ここで

\begin{align}
b_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_id_i=0,\ b_2+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_id_i=0
\end{align}

を満足する数列 $\{\alpha_i\},\{\beta_i\}$ が存在するならば

\begin{align}
\bigg(a_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=\psi,\ \bigg(a_2+\sum_{i=0}^{\infty}\beta_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=r\partial_r\psi
\end{align}

以上により畳込み像 $\langle 1\rangle_k$ から環状項 $\psi,r\partial_r\psi$ を計算することができました。数列の存在命題に関しては前回同様に別の機会に考えたいと思います。


今回はここまで。次回は級数部分の評価方法を考えることによって、今回の主張を少し弱めたいと思います。(written by J.Nishigata)


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剰余項の級数

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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今までの議論は数学の世界だけで通用する話でした。しかし、デコンボリューションの最終的な目的は実験的な光学の課題を解決することにあります。今回は理論的な関数の扱いではなく、実験的に得られるようなデータの扱い方を話します。


理論と実験で大きく異なる関数の特徴は以下のようにまとめられます。


i). 理論では連続であるが、実験では標本化されていること。
ii). 理論では任意の実数値をとることができるが、実験では量子化された値しかとれないこと。
iii). 理論での因果関係は入出力だけで決まるが、実験では入出力以外にノイズを考慮しなければならないこと。


このような特徴より、実験で得られたデータの微分は、理論値から大きく乖離する傾向があります。ここで気になるであろうことは、理論値からの乖離に閾値を設定してみる場合、何回くらいの微分に耐えることができるのか、ということです。標本化、量子化、ノイズそれぞれが或る程度制限された実験であれば、微分の回数上限を決定できるでしょう。$3$ 要素にばらつきが大きい場合は、その都度微分の回数上限を確認できるマップを準備しておくと良いでしょう。


微分の回数が少ない程、理論と実験は微分の意味で良く近似できていると考えられます。しかし、理論が全体として高次の微分まで用いる場合、低次の微分で近似した理論自体が本来の理論から乖離してしまっているので、期待した結果が得られるとは限りません。


微分の回数をパラメタにして、理論が乖離することと実験が乖離していくことはトレードオフにあります。


今回はここまで。次回は微分の回数に注意してデコンボリューションを考えていきます。(written by J.Nishigata)


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剰余項の級数の評価方法