AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回は

\begin{align}
D(\alpha)=b_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_id_i=0
\end{align}

のように、非常に強い条件を付けたのですが、今回はこの条件を弱めます。評価すべき式を復習すると

\begin{align}
\bigg(a_1+\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_ic_i\bigg)\langle 1\rangle_k=\psi+\langle D(\alpha)\rangle_k
\end{align}

の右辺の第 $2$ 項でしたね。この項の絶対値が最小になるように $\alpha$ を決めればよさそうです。コーシーの不等式を使えば

\begin{align}
\big|\langle D(\alpha)\rangle_k\big|\le\bigg\{\int_0^1XDk(X)^2\,dX\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_0^1X\psi(rX,y)^2\,dX\bigg\}^{1/2}
\end{align}

上から評価できます。したがって

\begin{align}
\bigg\{\int_0^1XDk(X)^2\,dX\bigg\}^{1/2}
\end{align}

を最小化するような $\alpha$ を選べば最良であるかは別問題としても目的には近づきます。最小値問題の解法は最小二乗法を使えば簡単でしょう。


以上のように $\alpha$ を決めて剰余項の級数を小さく見積もれば、零へ収束しない場合であっても近似的に近い結果が得られます。今回はここまで。次回は、この方法を実際のデコンボリューションへ利用する際の注意点を考えましょう。(written by J.Nishigata)


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剰余項の級数の評価方法

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まず PSF に境界条件を付加しておきましょう。

\begin{align}
k(1)=\partial k(1)=0,\partial^2k\neq 0
\end{align}

物理学的な PSF のメインローブをエミュレートしていると考えればよいです。では早速畳込み像 $\langle 1\rangle_k$ の導関数を計算していきましょう。

\begin{align}
&P_0:\langle 1\rangle_k=\langle 1\rangle_k,\\
&P_1:r^2\Delta\langle 1\rangle_k=\langle X^{-1}\partial+\partial^2\rangle_k,\\
&P_2:(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=-\langle X\partial\rangle_k
\end{align}

$P_1,P_2$ を更に微分していきます。$\mu_n=\partial^nk(1)$ とおくと

\begin{align}
&P_3:(r^2\Delta)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)^2\rangle_k,\\
&P_4:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)\rangle_k,\\
&P_5:(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\langle (X\partial)^2\rangle_k
\end{align}

次は $P_5$ を微分します。

\begin{align}
&P_6:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(3\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)(X\partial)^2\rangle_k,\\
&P_7:(2+r\partial_r)^3\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (X\partial)^3\rangle_k
\end{align}

$P_3,P_4,P_6,P_7$ を連立して環状項を消去した後、更に導関数を考えていくことができますが、その前に微分の次数を確認しておきましょう。まず、動径方向の微分を $1$ 階までに制限すると、$P_5,P_6,P_7$ は利用できないことが分かります。残りの式を使って剰余項の級数を作りましょう。


$\alpha_0P_0+\alpha_1P_1+\alpha_2P_2+P_4$ を作ると

\begin{align}
&\{\alpha_0+\alpha_1(r^2\Delta)+\alpha_2(2+r\partial_r)+(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\}\langle 1\rangle_k\\
&=\mu_2\psi+\langle \alpha_0+\alpha_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-\alpha_2X\partial-(2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)\rangle_k
\end{align}

ここで $\alpha_0+\alpha_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-\alpha_2X\partial-(2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)$ の $L_2$ 計量の最小値を与える $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2$ を最小二乗法で算出すれば

\begin{align}
\mu_2\psi\approx \{\alpha_0+\alpha_1(r^2\Delta)+\alpha_2(2+r\partial_r)+(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

という近似式が得られます。$\partial_r\psi$ に関しても同様にやればできます。今回はここまで。次回は動径方向への導関数に関する注意点を書きます。(written by J.Nishigata)


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実際のデータの微分に関する制限