AlxisDataBlog-数学・物理学


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前々回の式を復習しましょう。

\begin{align}
&P_0:\langle 1\rangle_k=\langle 1\rangle_k,\\
&P_1:r^2\Delta\langle 1\rangle_k=\langle X^{-1}\partial+\partial^2\rangle_k,\\
&P_2:(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=-\langle X\partial\rangle_k,\\
&P_3:(r^2\Delta)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)^2\rangle_k,\\
&P_4:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (2+X\partial)(X^{-1}\partial+\partial^2)\rangle_k,\\
&P_5:(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\langle (X\partial)^2\rangle_k,\\
&P_6:(r^2\Delta)(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\mu_2r\partial_r\psi-(3\mu_2+\mu_3)\psi+\langle (X^{-1}\partial+\partial^2)(X\partial)^2\rangle_k,\\
&P_7:(2+r\partial_r)^3\langle 1\rangle_k=\mu_2\psi-\langle (X\partial)^3\rangle_k
\end{align}

今回考えるフレーム内処理では動径微分が禁止されています。これを言葉通りに解釈すると使える方程式は $P_0,P_1,P_3$ のみであり、$\psi,\partial_r\psi$ の両方を計算することはできません。フレーム内処理によって近似的に動径微分を計算することを考えてみましょう。


$P_0,P_1,P_2$ を連立させて

\begin{align}
\{c_0+c_1(r^2\Delta)+(2+r\partial_r)\}\langle 1\rangle_k=\langle c_0+c_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-X\partial\rangle_k
\end{align}

右辺をコーシーの不等式で評価して最小二乗法により $c_0,c_1$ を求めれば

\begin{align}
(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k\approx -\{c_0+c_1(r^2\Delta)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

のような近似が成立します。数学的には、更なる導関数(例えば $(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k$)に関しては全く主張は得られないのですが、仮に

\begin{align}
(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k= -\{c_0+c_1(r^2\Delta)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

として議論を進めることにします。すると $P_4,P_5,P_6,P_7$ も使えるようになります。

\begin{align}
&(r^2\Delta)(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k=-\{c_0(r^2\Delta)+c_1(r^2\Delta)^2\}\langle 1\rangle_k,\\
&(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\{c_0^2+2c_1(c_0-1)(r^2\Delta)+c_1^2(r^2\Delta)^2\}\langle 1\rangle_k,\\
&(r^2\Delta)(2+r\partial_r)^2\langle 1\rangle_k=\{c_0^2(r^2\Delta)+2c_1(c_0-1)(r^2\Delta)^2+c_1^2(r^2\Delta)^3\}\langle 1\rangle_k,\\
&(2+r\partial_r)^3\langle 1\rangle_k=-\{c_0^3+c_1(3c_0^2-6c_0+4)(r^2\Delta)+3c_1^2(c_0-2)(r^2\Delta)^2+c_1^3(r^2\Delta)^3\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

剰余項の生成式を増やすために $P_3,P_4$ を整理しておきましょう。

\begin{align}
P_8:\mu_2P_3+(\mu_2+\mu_3)P_4
\end{align}

$P_4,P_8$ を用いて $P_6,P_7$ から環状項を消去します。

\begin{align}
&P_9:-P_3+2P_4+P_6,\\
&P_{10}:-P_4+P_7
\end{align}

更に微分してと続けても良いのですが、ラプラシアンの次数に配慮して、この辺りで剰余項の生成を終わりにしましょう。ここからは前々回と同様ですので割愛します。


今回はここまで。次回は動径微分をもう少し良く近似できるようにします。(written by J.Nishigata)


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実用的に使えるフレーム内デコンボリューション前半

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まず、定義からやりましょう。

\begin{align}
A(y)=\mathrm{pv.}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(y-x)}{x}\,dx
\end{align}

が存在するとき $f$ はヒルベルト変換可能であると言い、$A$ を $f$ のヒルベルト変換 $\mathscr{H}f$ と定義します。ここで $\mathrm{pv.}$ は発散特異点 $x=0$ の近傍で

\begin{align}
\mathrm{pv.}\int_{\mathbb{R}}=\lim_{\varepsilon\to+0}\int_{\mathbb{R}\setminus(-\varepsilon,\varepsilon)}
\end{align}

のように工夫した積分(コーシーの主値積分という)を意味します。ヒルベルト変換は電気回路等の信号処理分野で登場することが多いため、ご存じの方も多いでしょう。


どのような関数がヒルベルト変換可能であるのかというと、例えば絶対可積分な微分連続関数はヒルベルト変換可能ですね。


$f$ が絶対可積分な微分連続関数ならば $f$ はフーリエ変換も可能であり、畳込み定理より $\mathscr{H}f$ もフーリエ変換可能で

\begin{align}
m(z)\mathscr{F}f(z)=\mathscr{F}\mathscr{H}f(z),\ m(z)=\mathrm{pv.}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{e^{-2\pi ixz}}{x}\,dx
\end{align}

が成立します。$m(z)$ を計算すればヒルベルト変換の特徴が明確になります。$m(z)$ は留数定理を使えば簡単に計算できます。$x=re^{i\theta}$ とおくと

\begin{align}
|x|\dfrac{e^{-2\pi ixz}}{x}=e^{2\pi zr\sin\theta}e^{-2\pi izr\cos\theta}e^{-i\theta}\to 0\ \text{as }r\to\infty\ \text{with }z\sin\theta<0
\end{align}

これに注意して $z<0$ の場合

\begin{align}
m(z)=\pi i\mathrm{Res}(0)=\pi i
\end{align}

$z>0$ の場合は

\begin{align}
m(z)=-\pi i\mathrm{Res}(0)=-\pi i
\end{align}

以上でヒルベルト変換の特徴が分かりました。

\begin{align}
m(z)\mathscr{F}\mathscr{H}f(z)&=m(z)^2\mathscr{F}f(z)\\
&=-\pi^2\mathscr{F}f(z)\\
&=\mathscr{F}[-\pi^2f](z)
\end{align}

より逆ヒルベルト変換も分かりますね。今回はここまで。次回はヒルベルト変換の拡張を考えていきます。(written by J.Nishigata)


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動径微分の近似精度改善