AlxisDataBlog-数学・物理学


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  },
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  }
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前回は $1$ 階の動径微分を含む方法により環状項の計算を紹介しました。$G$ に含まれる演算子はラプラシアンと動径微分で張られる多項式環の部分集合ですが、ラプラシアンはフレーム内処理である一方、動径微分はフレーム間処理です。


$1$ 階の動径微分を計算するためには $r$ の差分をとれるような少なくとも $2$ フレームが必要になります。$r$ を変化させる光学的な方法を考えましょう。


まず、PSF を変化させる方法は


i). F-値を変化させる
ii). スクリーン位置を変化させる


が挙げられます。どちらの方法が今回探している方法であるのかは結像の状態に依存します。焦点面では i) は効果的ですが、焦点深度の節で確認した通り ii) は非相似に PSF を変形させるため不適切です。一方デフォーカスした状態であれば i),ii) 共に使うことができます。


i),ii) どちらも制御系の改造が必要であり、実用化するためには若干ハードルが上がるかもしれません。できる限り単一フレームで完結するデコンボリューションが好ましいでしょう。次回紹介します。(written by J.Nishigata)


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動径方向への微分の実現方法

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    inlineMath: [['$', '$']]
  }
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前回は $c_0P_0+c_1P_1+P_2$ により動径微分を近似しました。今回は近似に用いるパラメタの数を $2$ 個から $3$ 個へ増やしてみます。


$c_0P_0+c_1P_1+c_2P_2+P_5$ を書きます。

\begin{align}
\{c_0+c_1(r^2\Delta)+c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k=\langle c_0+c_1(X^{-1}\partial+\partial^2)-c_2(X\partial)+(X\partial)^2\rangle_k
\end{align}

これをコーシーの不等式で評価して最小二乗法により小さく見積もります。以上によりパラメタを増やした近似ができます。ただし、近似される関数は $(2+r\partial_r)\langle 1\rangle_k$ ではなく $\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k$ という塊ですので注意してください。


前回と同様に

\begin{align}
\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k=-\{c_0+c_1(r^2\Delta)\}\langle 1\rangle_k
\end{align}

と仮定して話を進めます。まずは $P_0,\dots,P_7$ の中で動径微分を使っている個所を $\{c_2(2+r\partial_r)+(2+r\partial_r)^2\}\langle 1\rangle_k$ という形に変形していきましょう。

\begin{align}
&P_{11}:c_2P_2+P_5,\\
&P_{12}:c_2P_4+P_6,\\
&P_{13}:(c_0-c_2^2)P_2+c_1P_4+P_7
\end{align}

環状項が出てくる式を連立させて $\psi,\partial_r\psi$ を分離します。

\begin{align}
&P_{14}:P_3-P_{12},\\
&P_{15}:(c_1+1)\mu_2P_3+(\mu_2+\mu_3)P_{13}
\end{align}

この $2$ 式を用いて、環状項が消えない式から環状項を消去して剰余項を生成します。例えば

\begin{align}
P_{16}:(c_2-2)P_{13}+(c_1+1)P_{14}
\end{align}

今まで何度もやっている通り剰余項の級数を作って $\psi,\partial_r\psi$ を近似すれば目的が達成できます。


今回はここまで。デコンボリューション前半の話は終わりにして、次回からは後半の話題、すなわち $\psi\mapsto f$ をやっていきたいと思います。まずは準備としてヒルベルト変換の話をしましょう。(written by J.Nishigata)


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実用的に使えるフレーム内デコンボリューション前半