AlxisDataBlog-数学・物理学


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まず $V$ を互いに素である連続する区間の和に分解します。分解されたそれぞれの区間で NP 型の零点を含むものを集めて $\{V_i\}$ と書いておきましょう。


$\{V_i\}$ は集積点をもたないことは分かるでしょうか。もしも集積点が存在すると仮定すると、$V_i$ は必ず零点を含むことにより集積点での $f$ の微分係数は零になります。一方、集積点は $\partial V_i$ の集積点でもあるため $\partial V_i$ の条件である $|\partial f|=\varepsilon$ も満たされていなければなりません。以上の矛盾により $\{V_i\}$ は集積点をもちません。


このことにより $\{V_i\}$ は昇順に並び変えることができます。これを改めて $\{V_i\}$ と定義しておきましょう。


何れの $V_i$ にも含まれない $W$ の元と、$\{\inf (W\cap V_i),\sup (W\cap V_i)\}$ を昇順に並べて $\{w_i\}$ とおきます。すると、或る関数 $A(i)\in\mathbb{Z}$ が存在して $\bigcup_{(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset}(w_i,w_{i+1})$ に制限した関数

\begin{align}
(-1)^{A(i)}f(x)
\end{align}

は半定値になります。$\{w_i\}$ に $\{W\cap V_i\}$ の元を適当に追加して、改めて昇順に $\{w_i\}$ と定義すると $A(i)=i$ とすることができます。


この数列 $\{w_i\}$ に対して $\zeta$ を

\begin{align}
\zeta(x)=\sum_i(-1)^i\eta(w_i)K(x,w_i)
\end{align}

と定義しましょう。$\zeta f$ は $\bigcup_{(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset}(w_i,w_{i+1})$ で半定値となってくれます。

\begin{align}
W_1=\{w_i:(w_i,w_{i+1})\cap W=\emptyset\},\ W_2=\{w_i:(w_i,w_{i+1})\cap W\neq\emptyset\}
\end{align}

のように $\{w_i\}$ を分けておきます。今回はここまで。次回は再度拡張ヒルベルト変換の単射性の問題に挑戦してみたいと思います。(written by J.Nishigata)


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積分核の級数を定義するための準備

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始める前に今回は $\partial f,\kappa$ を有界としておきます。$f$ の台の下限値を $x_0$ おきます。

\begin{align}
|\partial f| < M,\ |\kappa| < M,\ M > \dfrac{2}{b-x_0}
\end{align}

となるような $M$ をとっておきましょう。$0 < \delta < 1/M$ なる任意の $\delta$ に対して

\begin{align}
|\mathscr{H}f(x_0+\delta)|&=\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^bK(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\
&=\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx+\int_{x_0+2\delta}^bK(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\
&\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|+\bigg|\int_{x_0+2\delta}^bK(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\
&=-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|+\int_{x_0+2\delta}^b|K(x,x_0+\delta)f(x)|\,dx\\
&\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|+\int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}|K(x,x_0+\delta)f(x)|\,dx
\end{align}

第 $1$ 項は

\begin{align}
&-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}K(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\
&\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|-\bigg|\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\kappa(x,x_0+\delta)f(x)\,dx\bigg|\\
&\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|-M\int_{x_0}^{x_0+2\delta}|f|\,dx
\end{align}

一方、第 $2$ 項は

\begin{align}
K(x,x_0+\delta)\ge\dfrac{1}{x-x_0-\delta}-M\ge 0
\end{align}

に注意して

\begin{align}
\int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}|K(x,x_0+\delta)f(x)|\,dx\ge \int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}\bigg\{\dfrac{1}{x-x_0-\delta}-M\bigg\}|f(x)|\,dx
\end{align}

したがって

\begin{align}
|\mathscr{H}f(x_0+\delta)|\ge-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|-M\int_{x_0}^{x_0+2\delta}|f|\,dx+\int_{x_0+2\delta}^{x_0+\delta+1/M}\bigg\{\dfrac{1}{x-x_0-\delta}-M\bigg\}|f(x)|\,dx
\end{align}

この第 $1$ 項を $f(x)=f(x_0+\delta)+\partial f(c)(x-x_0-\delta)$ とおいて計算しましょう。

\begin{align}
-\bigg|\mathrm{pv.}\int_{x_0}^{x_0+2\delta}\dfrac{f(x)}{x-x_0-\delta}\,dx\bigg|=-2\delta|\partial f(c)|\ge-2M\delta
\end{align}

第 $1,2$ 項は $\delta$ を小さくとれば幾らでも零に近くすることができます。一方で第 $3$ 項は $\delta\to 0$ で正の値へ収束するので、結局充分小さい $\delta$ に対して $|\mathscr{H}f(x_0+\delta)| > 0$ が成立することが分かります。


半定値関数 $f$ は拡張ヒルベルト変換の零点ではないことが分かりました。前回の結果と合わせて考えると、拡張ヒルベルト変換の単射性が得られます。今回はここまで。次回は片側に開いた区間で定義されるヒルベルト変換の話をします。(written by J.Nishigata)


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有界区間で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その２