AlxisDataBlog-数学・物理学


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符号をスイッチさせる零点が有限個の場合はやりましたので、今回は無限個の場合をやります。


$\{w_i\}$ は有限列ですので $\{w_1,\dots,w_n\}$ をおきます。便宜上 $w_0=a,w_{n+1}=b$ を定義しておくと便利です。

\begin{align}
\bigg|\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|&=\bigg|\int_a^b\zeta f\,dx\bigg|\\
&\ge\bigg|\sum_{w_i\in W_1}\int_{w_i}^{w_{i+1}}\zeta f\,dx\bigg|-\bigg|\sum_{w_i\in W_2}\int_{w_i}^{w_{i+1}}\zeta f\,dx\bigg|\\
&\ge \bigg|\sum_{w_i\in W_1}\int_{w_i}^{w_{i+1}}\zeta f\,dx\bigg|-\sum_{w_i\in W_2}\int_{w_i}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx
\end{align}

第 $2$ 項が $\varepsilon\to 0$ の極限で零に収束すれば

\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to 0}\bigg|\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|>0
\end{align}

が主張できます。$|\zeta f|$ を上から評価したいので、まず $|f|$ の評価からやっていきましょう。


$(w_i,w_{i+1}),w_i\in W_2$ では $|\partial f|<\varepsilon$ が成立します。したがって $|f|$ は

\begin{align}
|f|\le
\begin{cases}
\varepsilon|x-w_1|\ \text{for }x\in(w_0,w_1)\ \text{if }w_0\in W_2,\\
\varepsilon\min\{|x-w_i|,\{|x-w_{i+1}|\}\}\ \text{for }x\in(w_i,w_{i+1}),i\neq 0,n\ \text{if }w_i\in W_2,\\
\varepsilon|x-w_n|\ \text{for }x\in(w_n,w_{n+1})\ \text{if }w_n\in W_2
\end{cases}
\end{align}

と評価できます。一方 $|\zeta|$ の評価は、以前やった通り

\begin{align}
|\zeta|\le
\begin{cases}
\dfrac{(1+c_0)\eta(w_1)}{|x-w_1|}\ \text{for }x\in(w_0,w_1),\\
\dfrac{(1+c_0)\eta(w_i)}{|x-w_i|}+\dfrac{(1+c_0)\eta(w_{i+1})}{|x-w_{i+1}|}\ \text{for }x\in(w_i,w_{i+1}),i\neq 0,n,\\
\dfrac{(1+c_0)\eta(w_n)}{|x-w_n|}\ \text{for }x\in(w_n,w_{n+1})
\end{cases}
\end{align}

以上を用いれば $|\zeta f|$ を上から評価して積分することができます。$w_0\in W_2$ ならば

\begin{align}
\int_{w_0}^{w_1}|\zeta f|\,dx\le\varepsilon(1+c_0)\eta(w_1)\int _{w_0}^{w_1}dx=\varepsilon(1+c_0)\eta(w_1)(w_1-w_0)
\end{align}

$w_i\in W_2,i\neq 0,n$ ならば

\begin{align}
\int_{w_i}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx&=\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}|\zeta f|\,dx+\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx\\
&\le\varepsilon(1+c_0)\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}\bigg\{\eta(w_i)-\dfrac{\eta(w_{i+1})(x-w_i)}{x-w_{i+1}}\bigg\}\,dx\\
&\quad +\varepsilon(1+c_0)\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}\bigg\{-\dfrac{\eta(w_i)(x-w_{i+1})}{x-w_i}+\eta(w_{i+1})\bigg\}\,dx\\
&=\varepsilon(1+c_0)\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}\bigg\{\eta(w_{i+1})-\dfrac{\eta(w_{i+1})(x-w_i)}{x-w_{i+1}}\bigg\}\,dx\\
&\quad +\varepsilon(1+c_0)\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}\bigg\{-\dfrac{\eta(w_i)(x-w_{i+1})}{x-w_i}+\eta(w_i)\bigg\}\,dx\\
&=\varepsilon(1+c_0)\eta(w_{i+1})(w_{i+1}-w_i)\int_{w_i}^{(w_i+w_{i+1})/2}-\dfrac{1}{x-w_{i+1}}\,dx\\
&\quad +\varepsilon(1+c_0)\eta(w_i)(w_{i+1}-w_i)\int_{(w_i+w_{i+1})/2}^{w_{i+1}}\dfrac{1}{x-w_i}\,dx\\
&=\varepsilon(1+c_0)\{\eta(w_i)+\eta(w_{i+1})\}(w_{i+1}-w_i)\log 2
\end{align}

$w_n\in W_2$ ならば

\begin{align}
\int_{w_n}^{w_{n+1}}|\zeta f|\,dx\le\varepsilon(1+c_0)\eta(w_n)\int _{w_n}^{w_{n+1}}dx=\varepsilon(1+c_0)\eta(w_n)(w_{n+1}-w_n)
\end{align}

$\eta$ は有界なので $\eta < M$ としておくと

\begin{align}
\sum_{w_i\in W_2}\int_{w_i}^{w_{i+1}}|\zeta f|\,dx < 2M\varepsilon(1+c_0)(b-a)
\end{align}

確かに $\varepsilon\to 0$ で零に収束することが分かりました。したがって

\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to 0}\bigg|\sum_{i=1}^n(-1)^i\eta(w_i)\mathscr{H}f(w_i)\bigg|>0
\end{align}

すなわち $f$ は拡張ヒルベルト変換の零点にはなりません。今までの証明に使ってきた $f$ はどんな関数だったかというと、符号をスイッチさせる関数でしたね。符号をスイッチさせる関数は拡張ヒルベルト変換の零点にはならないことが分かりました。


今回はここまで。次回は、半定値関数 $f$ を入力したらどうなるのか調べていきます。(written by J.Nishigata)


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有界区間で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その２

アルシスデータ株式会社（本社：東京都渋谷区、代表取締役：吉川茂男／沓沢拓、以下当社）は、日経新聞社が主催する「セキュリティショー２０２３・東京」に最新のセキュリティDX製品「ASCA・DEFENDER-X with SAFR（セイファー）」を展示致します。https://messe.nikkei.co.jp/exhibitor/info/SS/ja/19213/■出展背景弊社は、不鮮明な画像を鮮鋭化するデコンボリューション技術に特化した研究を行う研究開発ベンチャーです。これまで、主に世界最先端の研究機関・企業の顕微鏡、産業カメラへ技術を提供していますが、近年では防犯カメラやドローンなど民生用途でのソリューション応用を行っています。昨今の日本社会では、安倍元総理の襲撃をはじめとした公空間でのローンウルフ型の犯罪行為や、交通機関・商業施設・公共施設内での閉域エリアでのトラブルが続発しています。残念ながら、現在の監視システムではこれらの犯罪行為は事件発生後に検知されることがほとんどであり、予防的な措置が取られていないのが現状です。当社は、このような現状を社会課題と捉え、画像鮮鋭化技術・デコンボリューションのユースケースのひとつとして、防犯・監視カメラ領域での応用研究を行ってきました。この応用研究においては、実際に複数の現場（大型商業施設・スタジアム・公共施設）で実証実験を行い、従来の監視システムに予防的措置を組み合わせる場合の課題・有効性について多数の実証成果を蓄積してきました。この度、これらの研究成果を結集した製品として「ASCA DEFNEDER-X with SAFR」を発表いたします。■ASCA DEFNEDER-X with SAFRの特長製品紹介サイト：https://defender-x-asca.com/①不審者（不審行動）の検知　当社独自の画像処理により不審検知システム「DEFENDER-X」の性能を向上、犯罪やトラブルの原因となりそうな緊張度の高い人物を事前検知します。②トラッキング　上記①「DEFENDER-X」で検知された人物についての特徴量を「SAFR」に連動。　SAFRが接続されたカメラで撮像された情報を当社画像処理で鮮鋭化し、同一人物がいれば追跡検知を行います。③即時スマホ発報　上記①②で検知された対象は、指定のスマホおよび管理システムに即時連携。　警備員や店員から対象者へ声掛けを行ったり、人員を急行させることが可能となります。④店舗間連携（広域連携）　このように検知された対象者は、店舗入り口から駐車場、あるいは近隣店舗へと複数個所を移動することが想定されます。　該当の１店舗で検知されたデータを系列店舗や協定を締結する店舗へ共有し、店舗を超えた広域連携が可能です。⑤事後分析　夜間等の指定時間で記録された映像データの画像処理を行い、事後的に対象を自動で検出します。　結果はデータベースに保存され、すべての検知日時を一覧表示して管理者が目視で対象者を絞り込むことができ、大幅な監視効率向上が可能です。⑥死活監視　上記のような機能は、カメラ、アプリケーション、サーバー、PC、ネットワーク機器などが正常動作していることが前提ですが、　これらの機器ベンダーは複数業者に複雑に渡っており、複数機器・アプリを統合して動作監視を行う製品は存在していません。　　当社製品はこれら複数業者の機器の動作を統合的に監視し、異常を検知することが可能です。⑦マルチプラットフォーム対応　これら一連の機能は「ASCA」プラットフォーム上に実装されています。　「ASCA」プラットフォームは、「DEFENDER-X」「SAFR」はもちろん、お客様が独自開発されたVMSや、通信/SIerがもつ独自製品ともAPIで連携が可能。　従来の導入品・製品をそのまま応用できます。■デモンストレーション予定展示会期間中は、「ASCA DEFNEDER-X with SAFR」の動作デモ展示を行います。＜見どころ＞①「DEFENDER-X」不審者（不審行動）の検知（入口カメラ）　入口を想定したカメラで不審行動を検知し、特徴データベースに登録されるまで　②「SAFR」によるトラッキング（追跡カメラ）　入口を想定したカメラからの情報をもとに、店舗内の別フロアのカメラで検知・追跡するところまで③「ASCA」管理側機能による操作　見どころ①②の対象検知による即時スマホ発報、事後解析、死活監視など一連の機能＜その他＞・上記ソリューションの画像処理のベースとなっている「RING」についても展示します。■受賞歴当社デコンボリューション技術は、2016年に発明者の西形が WIRED x Audi INNOVATION AWARD 2016: Next Innovator として選出されたことを皮切りに、2019年には「第31回・中小企業優秀新技術・新製品賞」のソフトウェア部門にて「優秀賞」を受賞。2020年には、東京都中小企業振興公社「革新サービス助成」事業にも採択されるなど、国内外において高い評価を獲得しています。■開催概要会場は検温、消毒、入場制限等で万全のコロナ対策を行っております。皆様のご来場を、心よりお待ちしております。===【開催概要】名称：　セキュリティショー2023　東京　　　　SECURITY SHOW 2023 TOKYO　　　　https://messe.nikkei.co.jp/ss/主催：　日経新聞社後援：　警察庁、公安調査庁、（独）情報処理推進機構、日本商工会議所、全国商工会連合会、日本貿易振興機構（ジェトロ） （順不同、予定）日時：　2023年2月28日(火)～3月3日(金)　10:00～17:00　※最終日のみ16:30閉場場所：　東京ビッグサイト　東展示棟（東京都江東区有明3-10-1）ブース番号：　小間番号 : SS3024　（映像監視ソリューションゾーン）===■本リリースに関する連絡先アルシスデータ株式会社https://www.alxisdata.co.jp/pages/5046922/contact〒150-6031東京都渋谷区恵比寿 4-20-3　恵比寿ガーデンプレイスタワー31階

半定値関数のヒルベルト像