AlxisDataBlog-数学・物理学


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前回やり残した $\alpha(\infty)=0$ の場合をやります。$w^i\in W,w^i+\alpha(w^i)\in W,(w^i,w^i+\alpha(w^i))\cap W=\emptyset$ を満足する発散する単調増加列 $\{w^i\}$ をとりましょう。


$|\partial f| < M$ ですので $x > w^i$ で関数 $f$ は

\begin{align}
|f| < \dfrac{1}{2}M\alpha(w^i)
\end{align}

と評価できます。前回と同じようにコーシーの不等式を使いましょう。

\begin{align}
\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}|K(x,w^i)f(x)|\,dx&\le\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}K^2\,dx\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}f^2\,dx\bigg\}^{1/2}\\
&\le(1+c_0)\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}\dfrac{1}{(x-w^i)^2}\,dx\bigg\}^{1/2}\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}\dfrac{1}{2}M\alpha(w^i)|f|\,dx\bigg\}^{1/2}\\
&=(1+c_0)\sqrt{M/2}\bigg\{\int_{w^i+\alpha(w^i)}^{\infty}|f|\,dx\bigg\}^{1/2}
\end{align}

$f$ は絶対可積分なので右辺は $i\to\infty$ の極限で零に収束します。ここからは前回と同じロジックでやれば良く、結果的に符号をスイッチさせる関数 $f$ は拡張ヒルベルト変換の零点にはならないことが導かれます。


前回と今回の話をまとめると、単射性が得られますね。今回はここまで。次回は $\mathbb{R}$ 全体で定義されたヒルベルト変換の話をします。(written by J.Nishigata)


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半直線上で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性その２

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前回、$\mathbb{R}$ 全体で定義された拡張ヒルベルト変換のカーネル空間は高々 $1$ 次元であることが分かりました。


実は復習してみれば分かる通り、有界区間や半直線で得られた拡張ヒルベルト変換の単射性は、$\kappa$ の有界性を仮定しなければ成立せず、逆にこの条件を除外してしまうと、前回と同じようなカーネル空間は高々 $1$ 次元であるという問題が生じます。(自明ではない零点は半定値関数であることも成り立ちます。)


カーネル空間分の不定性はどのように解消すれば良いでしょうか。単純に

\begin{align}
I_f=\int_a^bf\,dx
\end{align}

を追加すればよいでしょう。$f\mapsto\{\mathscr{H}f,I_f\}$ は単射になるわけです。拡張ヒルベルト変換を使う場合は、単射となるように $I_f$ とセットで登場することが多いです。覚えておきましょう。


今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換の話をやります。(written by J.Nishigata)


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直線全体で定義された、拡張ヒルベルト変換の単射性