AlxisDataBlog-数学・物理学

前回、$\mathbb{R}$ 全体で定義された拡張ヒルベルト変換のカーネル空間は高々 $1$ 次元であることが分かりました。

実は復習してみれば分かる通り、有界区間や半直線で得られた拡張ヒルベルト変換の単射性は、$\kappa$ の有界性を仮定しなければ成立せず、逆にこの条件を除外してしまうと、前回と同じようなカーネル空間は高々 $1$ 次元であるという問題が生じます。(自明ではない零点は半定値関数であることも成り立ちます。)

カーネル空間分の不定性はどのように解消すれば良いでしょうか。単純に

\begin{align} I_f=\int_a^bf\,dx \end{align}

を追加すればよいでしょう。$f\mapsto\{\mathscr{H}f,I_f\}$ は単射になるわけです。拡張ヒルベルト変換を使う場合は、単射となるように $I_f$ とセットで登場することが多いです。覚えておきましょう。

今回はここまで。次回は円周上のヒルベルト変換の話をやります。(written by J.Nishigata)

拡張ヒルベルト変換に追加する測度